Question

20．已知函數y=x²-2mx-2（m+3）（m為常數）．
（1）證明：無論m取何值，該函數圖象與x軸總有兩個交點；
（2）設函數圖象與x軸的交點分別為A、B（點A在點B左側），它們的橫坐標分別為x₁和x₂，且$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$=-$\frac{1}{4}$，此時，此時點M在直線y=x-10，當MA+MB最小，求直線AM的函數解析式．

Answer 1

分析 （1）先計算判別式的值，再配方得到△=4（m+1）²+8，則根據非負數的性質可判斷△＞0，于是根據判別式的意義可判斷無論m取何值，該函數圖象與x軸總有兩個交點；
（2）利用二次函數與x軸的交點問題，x₁和x₂為方程x²-2mx-2=0的兩根，由根與系數的關系得到x₁+x₂=2m，x₁•x₂=-2（m+3），再利用$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$=-$\frac{1}{4}$得到$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，則$\frac{2m}{-2（m+3）}$=-$\frac{1}{4}$，解得m=1，于是得到拋物線解析式為y=x²-2m-8，接著通過解方程x²-2m-8=0得到A（-2，0），B（4，0），利用直線y=x-10得到它與坐標軸的交點為C、E的坐標，如圖，則可判斷△OCE為等腰直角三角形，得到∠OCE=45°，然后作B點關于CE的對稱點D，如圖，則∠DCE=∠BCE=45°，所以△BCD為等腰直角三角形，于是可得到D（10，-6），連結AD交CE于M，連結MB，如圖，利用兩點之間線段最短可判斷此時MA+MB最小，最后利用待定系數法可求出直線AM的解析式．

解答 （1）證明：△=（-2m）²-4•[-2（m+3）]
=4m²+8m+12
=4（m+1）²+8，
∵4（m+1）²≥0，
∴4（m+1）²+8＞0，即△＞0，
∴無論m取何值，該函數圖象與x軸總有兩個交點；
（2）解：x₁和x₂為方程x²-2mx-2=0的兩根，則x₁+x₂=2m，x₁•x₂=-2（m+3），
∵$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{2m}{-2（m+3）}$=-$\frac{1}{4}$，解得m=1，
∴拋物線解析式為y=x²-2m-8，
當y=0時，x²-2m-8=0，解得x₁=-2，x₂=4，則A（-2，0），B（4，0），
直線y=x-10坐標軸的交點為C、E，如圖，則C（10，0），E（-10，0），
∴△OCE為等腰直角三角形，
∴∠OCE=45°，
作B點關于CE的對稱點D，如圖，則∠DCE=∠BCE=45°，
∴△BCD為等腰直角三角形，
∴CD=BC=10-4=6，
∴D（10，-6），
連結AD交CE于M，連結MB，如圖，
∵BM=MD，
∴MA+MB=MA+MD=AD，
∴此時MA+MB最小，
設直線AD的解析式為y=kx+b，
把A（-2，0），D（10，-6）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{10k+b=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AM的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-1．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程；△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．也考查了待定系數法求一次函數解析式．解決本題的關鍵是確定B點關于直線y=x-10的對稱點D的坐標．