Question

14．如圖，一次函數y=$\frac{2}{3}$x-2的圖象分別與x軸．y軸交于點A．B，以線段AB為邊在第四象限內作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，求過B、C兩點直線的解析式．

Answer 1

分析 對于已知一次函數解析式，令x與y為0分別求出y與x的值，確定出A與B坐標，過C作CD垂直于x軸，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，AB=AC，利用AAS得到三角形ABO與三角形CAD全等，利用全等三角形的對應邊相等得到AD=OB=2，CD=OA=3，根據OA+AD求出OD的長，確定出C坐標，再由B坐標，利用待定系數法求出過B、C兩點直線的解析式即可．

解答 解：對于一次函數y=$\frac{2}{3}$x-2，令x=0得：y=-2；令y=0，解得x=3，
∴B的坐標是（0，-2），A的坐標是（3，0），
作CD⊥x軸于點D，如圖所示：

∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO．
在△ABO與△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠ACD}\\{∠BOA=∠ADC=90°}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD=OB=2，CD=OA=3，OD=OA+AD=5，
∴C的坐標是（5，-3），
設直線BC的解析式是y=kx+b，
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{5k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{5}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式是y=-$\frac{1}{5}$x-2．

點評 此題考查了一次函數綜合題，涉及的知識有：一次函數與坐標軸的交點，全等三角形的判定與性質，待定系數法確定一次函數解析式，坐標與圖形性質，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．