Question

9．在平面直角坐標系中，以點A（2，4）為圓心，1為半徑作⊙A，以點B（3，5）為圓心，3為半徑作⊙B，M、N分別是⊙A，⊙B上的動點，P為x軸上的動點，則PM+PN的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{82}$-4
• B． $\sqrt{82}$-1
• C． 6-2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{17}$-3

Answer 1

分析 作⊙A關(guān)于x軸的對稱⊙A′，連接BA′分別交⊙A′和⊙B于M、N，交x軸于P，如圖，根據(jù)兩點之間線段最短得到此時PM+PN最小，再利用對稱確定A′的坐標，接著利用兩點間的距離公式計算出A′B的長，然后用A′B的長減去兩個圓的半徑即可得到MN的長，即得到PM+PN的最小值．

解答 解：作⊙A關(guān)于x軸的對稱⊙A′，連接BA′分別交⊙A′和⊙B于M、N，交x軸于P，如圖，
則此時PM+PN最小，
∵點A坐標（2，4），
∴點A′坐標（2，-4），
∵點B（3，5），
∴A′B=$\sqrt{（2-3）^{2}+（-4-5）^{2}}$=$\sqrt{82}$，
∴MN=A′B-BN-A′M=$\sqrt{82}$-3-1=$\sqrt{82}$-4，
∴PM+PN的最小值為$\sqrt{82}$-4．
故選A．

點評 本題考查了圓的綜合題：掌握與圓有關(guān)的性質(zhì)和關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征；會利用兩點之間線段最短解決線段和的最小值問題；會運用兩點間的距離公式計算線段的長；理解坐標與圖形性質(zhì)．