Question

13．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3交x軸于A、B兩點（A在B左邊），交y軸于C點，且OC=3OA，對稱軸x=1交拋物線于D點．
（1）求拋物線解析式；
（2）在直線BC上方的拋物線上找點E使S_△BCD=S_△BCE，求E點的坐標；
（3）在x軸上方的拋物線上，是否存在點M，過M作MN⊥x軸于N點，使△BMN與△BCD相似？若存在，請求出M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將x=0代入可求得y=3，故此可知C（0，3），OC=3，OA=1，則點A的坐標為（-1，0），由點B與點A關于x=1對稱可知B（3，0），將點A、點B的坐標代入拋物線的解析式，從而可求得a=-1，b=2；
（2）過D點作DE∥BC交拋物線y=-x²+2x+3于E點，由△BCD與△BCE是同底等高的三角形可知S_△BCD=S_△BCE，設直線DE的解析式為y=-x+b，將點D的坐標代入可求得直線DE的解析式，然后與拋物線的解析式聯立可求得點E的坐標；
（3）由兩點間的而距離公式可知：BC=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，設M（x，y），則MN=y=-x²+2x+3，BN=3-x，然后根據相似三角形的性質列出關于x的方程，從而可求得點M的坐標．

解答 解：（1）∵將x=0代入得y=3，
∴C（0，3）．
∵OC=3OA，
∴OA=1．
∴A（-1，0）．
∵點B與點A關于x=1對稱，
∴B（3，0）．
將A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx+3得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3．
（2）∵將x=1代入拋物線的解析式得：y=-1+2+3=4，
∴D（1，4）．
如圖1，過D點作DE∥BC交拋物線y=-x²+2x+3于E點．

設直線DE的解析式為y=-x+b，
將點D的坐標代入得：-1+b=4，解得：b=5，則直線DE的解析式為y=-x+5．
將y=-x+5與y=-x²+2x+3聯立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$．
∴E（2，3）．
（3）存在．
由兩點間的而距離公式可知：BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{（1-0）^{2}+（4-3）^{\;}}$=$\sqrt{2}$．
設M（x，y），則MN=y=-x²+2x+3，BN=3-x．
①如圖2所示：

∵當△BMN∽△DBC時，$\frac{BN}{NM}=\frac{CD}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{3-x}{-{x}^{2}+2x+3}=\frac{1}{3}$．
解得：x₁=2，x₂=3（舍去）．
∵當x=2時，y=3，
∴M（2，3）．
②如圖3所示：


∵當△BMN∽△BDC時，$\frac{MN}{BN}=\frac{DC}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{-{x}^{2}+2x+3}{3-x}=\frac{1}{3}$．
解得：x₁=-$\frac{2}{3}$，x2=3（舍去）．
當x=-$\frac{2}{3}$時，y=$\frac{11}{9}$，
∴M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$）
綜上，存在點M（2，3）或（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$），使△BMN與△BCD相似．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，本題主要涉及了待定系數法求一次函數、二次函數的解析式、一次函數與二次函數圖象的交點、相似三角形的性質和判定等知識點，依據相似三角形的性質列出關于x的方程是解題的關鍵．