Question

18．如圖，E是正方形ABCD對角線延長線上一點，連接DE，作E作DE的垂線CB和BA的延長線分別交于F和G，判斷△GDF的形狀并證明你的結論．

Answer 1

分析 由垂直的定義得到∠DEF=∠DEG=90°，根據四邊形的性質得到∠BCD=∠BAD=90°，AD=CD，推出A，D，G，E四點共圓，E，F，C，D四點共圓，根據圓周角定理得到∠AED=∠AGD，∠CFD=∠CED，等量代換得到∠CFD=∠AGD，證得△CDF≌△ADG，根據全等三角形的性質得到DF=DG，∠FDC=∠ADG，求出∠FDG=90°，即可得到結論．

解答 解：△GDF是等腰直角三角形，
∵DE⊥GF，
∴∠DEF=∠DEG=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠BAD=90°，AD=CD，
∴∠DAG=90°，
∴A，D，G，E四點共圓，E，F，C，D四點共圓，
∴∠AED=∠AGD，∠CFD=∠CED，
∴∠CFD=∠AGD，
在△CDF與△ADG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DCF=∠DAG}\\{∠CFD=∠AGD}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△ADG，
∴DF=DG，∠FDC=∠ADG，
∴∠FDC+∠ADF=∠ADF+∠ADG=90°，
∴∠FDG=90°，
∴△GDF是等腰直角三角形．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，四點共圓，圓周角定理，正方形的性質，等腰直角三角形的判定，正確的判斷四點共圓是解題的關鍵．