Question

3．如圖，以AD為直徑的半圓O經過Rt△ABC的斜邊AB的兩個端點，角直角邊AC于點E、B，E是半圓弧的三等分點，弧BE的長為$\frac{1}{3}$π，則圖中陰影部分的面積為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$π
• B． $\frac{\sqrt{3}}{6}$π
• C． $\frac{3}{8}$$\sqrt{3}$-$\frac{1}{3}$π
• D． $\frac{3}{8}$$\sqrt{3}$-$\frac{1}{6}$π

Answer 1

分析 首先根據圓周角定理得出扇形半徑以及圓周角度數，進而利用銳角三角函數關系得出BC，AC的長，利用S_△ABC-S_扇形BOE=圖中陰影部分的面積求出即可．

解答 解：連接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圓弧的三等分點，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=∠EBA=30°，
∴BE∥AD，
∵$\widehat{BE}$的長為$\frac{1}{3}π$，
∴$\frac{60π•R}{180}$=$\frac{1}{3}π$，
解得：R=1，
∴AB=ADcos30°=$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面積相等，
∴圖中陰影部分的面積為：S_△ABC-S_扇形BOE=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$-$\frac{60π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$-$\frac{1}{6}$π．
故選D．

點評 此題主要考查了扇形的面積計算以及三角形面積求法等知識，根據已知得出△BOE和△ABE面積相等是解題關鍵．