Question

3．游客上金佛山有兩種方式：一種是從西坡上山，如圖，先從A沿登山步道走到B，再沿索道乘坐纜車到C：另一種是從北坡景區(qū)沿著盤山公路開車上山到C．已知在A處觀測(cè)C，得仰角∠CAD=31°，且A、B的水平距離AE=1500米，A、B的豎直距離BE=750米，索道BC坡度i=2：3，CD⊥AD于D，BF⊥CD于F．
（1）求索道BC的長(zhǎng)；（參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.6，cos31°≈0.9，$\sqrt{13}$≈3.6）
（2）已知登山步道長(zhǎng)2100米，纜車運(yùn)行的平均速度為150米/分鐘，盤山公路長(zhǎng)20000米．現(xiàn)有甲、乙兩位游客分別從西坡和北坡上山，二人同時(shí)出發(fā)，結(jié)果乙比甲早10分鐘到達(dá)C．若甲沿登山道步行平均速度是乙開車上山平均速度的$\frac{1}{8}$，求甲沿登山步道步行的平均速度（單位：米/分鐘）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，可以設(shè)CF=2x，則BF=3x，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)值，進(jìn)而可以求得x的值，從而可以求得索道BC的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)已知條件，可以知道甲乙兩人的速度之間的關(guān)系，根據(jù)銳角三角函數(shù)值和速度等于路程除以時(shí)間，進(jìn)而可以解答本題．

解答 解：（1）設(shè)CF=2x，則BF=3x，
∵tan31°≈0.6，tan31°=$\frac{2x+750}{1500+3x}$，
∴$\frac{2x+750}{1500+3x}=0.6$
解得，x=750，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=750是原分式方程的解，
∴BF=2250，CF=1500，
∴BC=$\sqrt{B{F}^{2}+C{F}^{2}}=\sqrt{225{0}^{2}+150{0}^{2}}$=750$\sqrt{13}$米，
即索道BC的長(zhǎng)是$750\sqrt{13}$米；
（2）設(shè)甲沿登山步道步行的平均速度是m米/分鐘，
$\frac{2100}{m}+\frac{750\sqrt{13}}{150}-\frac{20000}{8m}=10$，$\sqrt{13}≈3.6$，
解得，m=50，
經(jīng)檢驗(yàn)，m=50是原分式方程的解，
即甲沿登山步道步行的平均速度是50米/分鐘．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解直角三角形-坡度坡角問題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．