Question

12．數學課上，李老師出示了如下框中的題目．
如圖1，邊長為6的等邊三角形ABC中，點D沿線段AB方向由A向B運動，點F同時從C出發，以相同的速度沿射線BC方向運動，過點D作DE⊥AC，連結DF交射線AC于點G．求線段AC與EG的數量關系，并說明理由．

小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答，：
（1）特殊情況•探索結論
當點D恰好在點B處時，易知線段AC與EG的關系是：AC=2EG（直接寫出結論）
（2）特例啟發•解答題目
猜想：線段AC與EG是（1）中的關系，進行證明：
輔助線為“過點D作DH∥BC交AC于點H”，
請你利用全等三角形的相關知識完成解答；
（3）拓展結論•設計新題
如果點D運動到了線段AB的延長線上（如圖2），剛才的結論是否仍成立？請你說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據△ABC為等邊三角形，DE⊥AH，即可得出AE=EG=$\frac{1}{2}$AC，進而得到AC=2EG；
（2）過點D作DH∥BC，交AC于點H，則∠HDG=∠F，先判定△ADH是等邊三角形，再根據等量代換得到DH=FC，進而判定△DHG≌△FCG（AAS），得到HG=CG，再根據△ADH為等邊三角形，DE⊥AH，得出AE=EH，最后得出AC=AH+CH=2EH+2HG=2EG；
（3）過點D作DH∥BC，交AC的延長線于點H，則∠HDG=∠F，運用（2）中的方法進行推導，即可得出AC=AH-CH=2EH-2HG=2（EH-HG）=2EG．

解答 解：（1）AC與EG的關系是：AC=2EG．
理由：如圖所示，當點D恰好在點B處時，點G與點C重合，

∵△ABC為等邊三角形，DE⊥AH，
∴AE=EG=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=2EG，
故答案為：AC=2EG；

（2）如圖所示，過點D作DH∥BC，交AC于點H，則∠HDG=∠F，

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ADH=∠AHD=∠A=60°，
∴△ADH是等邊三角形，
∴AD=DH，
又∵點D與F的運動速度相同，
∴AD=CF，
∴DH=FC，
在△DHG和△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGH=∠FGC}\\{∠HDG=∠F}\\{DH=FC}\end{array}\right.$，
∴△DHG≌△FCG（AAS），
∴HG=CG，
∵△ADH為等邊三角形，DE⊥AH，
∴AE=EH，
∴AC=AH+CH=2EH+2HG=2EG；

（3）AC=2EG仍成立，
理由：如圖所示，過點D作DH∥BC，交AC的延長線于點H，則∠HDG=∠F，

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ADH=∠AHD=∠A=60°，
∴△ADH是等邊三角形，
∴AD=DH，
又∵點D與F的運動速度相同，
∴AD=CF，
∴DH=FC，
在△DHG和△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGH=∠FGC}\\{∠HDG=∠F}\\{DH=FC}\end{array}\right.$，
∴△DHG≌△FCG（AAS），
∴HG=CG，
∵△ADH為等邊三角形，DE⊥AH，
∴AE=EH，
∴AC=AH-CH=2EH-2HG=2（EH-HG）=2EG．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形和等邊三角形，依據等邊三角形三線合一以及全等三角形的對應邊相等進行推導．