Question

2．數(shù)學(xué)問(wèn)題：
如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-20，點(diǎn)B表示的數(shù)為40，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿正方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從原點(diǎn)出發(fā)以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿正方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)以每秒8個(gè)單位的速度先沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)原點(diǎn)后立即按原速返回，三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)N回到點(diǎn)B時(shí)，三點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）三個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t（0＜t＜5）秒時(shí)，則P、Q、N三點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的三個(gè)數(shù)分別為-20+5t，4t，40-8t．
（2）當(dāng)QN=10個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P在數(shù)軸上所表示的數(shù)．
（3）嘗試借助上面數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題經(jīng)驗(yàn)，建立數(shù)軸完成下面實(shí)際問(wèn)題：
碼頭C位于A、B兩碼頭之間，且知AC=20海里，AB=60海里，甲船從A碼頭順流駛向B碼頭，乙船從C碼頭順流駛向B碼頭，丙船從B碼頭開(kāi)往C碼頭后立即調(diào)頭返回B碼頭．已知甲船在靜水中航速為5海里/小時(shí)，乙船在靜水中航速為4海里/小時(shí)，丙船在靜水中航速為8海里/小時(shí)，水流速度為2海里/小時(shí)，三船同時(shí)出發(fā)，每艘船都行駛到B碼頭停止．
在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存某一時(shí)刻，這三艘船中的一艘恰好在另外兩船之間，且與兩船的距離相等？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)甲船離B碼頭的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
提示：如果你不用上面數(shù)學(xué)問(wèn)題中的解題方法也能完成本題，可得滿(mǎn)分．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間即可求解；
（2）Q、N相遇的時(shí)間為$\frac{10}{3}$秒，Q到B的時(shí)間為10秒，N到O的時(shí)間為5秒，N到B的時(shí)間為10秒．N到O前，P所表示的數(shù)為-20+5t；Q所表示的數(shù)為4t；N所表示的數(shù)為40-8t．分三種情況：①Q(mào)、N相遇前；②Q、N相遇后，N到O前；③Q、N相遇后，N到O后．分別根據(jù)QN=10列出方程；
（3）建立如圖所示的數(shù)軸A所表示的數(shù)為-20；C所表示的數(shù)為0；B所表示的數(shù)為40．分四種情況：①乙丙相遇前；②甲丙相遇前；③甲丙相遇后，丙到C前；④甲丙相遇后，丙到C后．根據(jù)這三艘船中的一艘恰好在另外兩船之間，且與兩船的距離相等列出方程．

解答 解：（1）三個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t（0＜t＜5）秒時(shí)，則P、Q、N三點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的三個(gè)數(shù)分別為-20+5t，4t，40-8t．
故答案為-20+5t，4t，40-8t；

（2）Q、N相遇的時(shí)間為$\frac{10}{3}$秒，Q到B的時(shí)間為10秒，N到O的時(shí)間為5秒，N到B的時(shí)間為10秒．
N到O前，P所表示的數(shù)為-20+5t；Q所表示的數(shù)為4t；N所表示的數(shù)為40-8t．
①Q(mào)、N相遇前：40-8t-4t=10，解得t=2.5，

 所以P所表示的數(shù)為-20+5×2.5=-7.5；
②Q、N相遇后，N到O前，4t-（40-8t）=10，解得t=$\frac{25}{6}$，

所以P所表示的數(shù)為-20+5×$\frac{25}{6}$=$\frac{5}{6}$；
③Q、N相遇后，N到O后：
P所表示的數(shù)為-20+5t；Q所表示的數(shù)為4t；N所表示的數(shù)為8（t-5），
4t-8（t-5）=10，解得t=7.5，

所以P所表示的數(shù)為-20+5×7.5=17.5；

（3）建立如圖所示的數(shù)軸A所表示的數(shù)為-20；C所表示的數(shù)為0；B所表示的數(shù)為40．
甲到C的時(shí)間為$\frac{20}{7}$秒，甲到B的時(shí)間為$\frac{60}{7}$秒，乙到B的時(shí)間為$\frac{20}{3}$秒，
丙到C的時(shí)間為$\frac{20}{3}$秒，丙到B的時(shí)間為$\frac{32}{3}$秒，甲遇丙的時(shí)間為$\frac{60}{13}$秒，乙遇丙的時(shí)間為$\frac{10}{3}$秒，甲追乙的時(shí)間為20（舍），丙追甲的時(shí)間為（舍）．丙到C前，甲所表示的數(shù)為-20+7t；乙所表示的數(shù)為6t；丙所表示的數(shù)為40-6t
①乙丙相遇前：6t-（-20+7t）=40-6t-6t，解得t=$\frac{20}{11}$，
所以甲船離B碼頭的距離為40-（-20+7×$\frac{20}{11}$）=$\frac{520}{11}$（海里）；
②甲丙相遇前：40-6t-（-20+7t）=6t-（40-6t），解得t=4，
所以甲船離B碼頭的距離為40-（-20+7×4）=32（海里）；
③甲丙相遇后，丙到C前：6t-（-20+7t）=-20+7t-（40-6t），解得t=$\frac{40}{7}$，
所以甲船離B碼頭的距離為40-（-20+7×$\frac{40}{7}$）=20（海里）；
④甲丙相遇后，丙到C后：甲所表示的數(shù)為-20+7t；乙所表示的數(shù)為6t；丙所表示的數(shù)為10（t-$\frac{20}{3}$）．
6t-（-20+7t）=-20+7t-10（t-$\frac{20}{3}$），解得t=$\frac{40}{3}$＞$\frac{20}{3}$（舍）．
綜上所述，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，分別在$\frac{20}{11}$小時(shí)、4小時(shí)、$\frac{40}{7}$小時(shí)時(shí)，這三艘船中的一艘恰好在另外兩船之間，且與兩船的距離相等，此時(shí)甲船離B碼頭的距離分別為$\frac{520}{11}$海里，32海里，20海里．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸，兩點(diǎn)間的距離．正確進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵也是本題的難點(diǎn)．