Question

11．如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D．
（1）若∠BAC=θ，求∠DBC；
（2）求證：BD=DE．

Answer 1

分析 （1）根據內心的性質得到AD是∠BAC的平分線，根據圓周角定理解答即可；
（2）根據內心的性質、三角形的外角的性質證明．

解答 （1）解：∵點E是△ABC的內心，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$θ，
由圓周角定理得，∠DBC=∠CAD=$\frac{1}{2}$θ；

（2）證明：∵點E是△ABC的內心，
∴∠ABE=∠CBE，又∠DBC=∠BAD，
∴∠ABE+∠BAD=∠CBE+∠DBC，
即∠DBE=∠DEB，
∴BD=DE．

點評 本題考查的是三角形的內切圓與內心、外接圓與外心的概念和性質，掌握三角形的內心是三角形的三條角平分線的交點是解題的關鍵．