Question

17．如圖，四邊形ABCO方形，△BEF是等腰直角三角形，∠EBF=90°，點C，E在x軸上，點A在y軸上，點F在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）第一象限內的圖象上，S_△BEF=5，OC=1，則k=8．

Answer 1

分析 過點F作FG⊥y軸于點G，延長CB交FG于點H，設點F（x，$\frac{k}{x}$），證△BHF≌△ECB得HF=BC=1，EC=BH=$\frac{k}{x}$-1，由HF=x-1得x-1=1，即x=2，根據S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE²=5得BE=BF=$\sqrt{10}$，根據EC²+BC²=BE²得（$\frac{k}{x}$-1）²+1=10，即（$\frac{k}{2}$-1）²+1=10，解之可得答案．

解答 解：過點F作FG⊥y軸于點G，延長CB交FG于點H，

∵四邊形ABCO是正方形，且OC=1，
∴BH⊥FG，
∴∠BHF=∠ECB=90°，
∴∠HBF+∠HFB=90°，
又∵∠EBF=90°，且BE=BF，
∴∠HBF+∠EBC=90°，
∴∠HFB=∠EBC，
在△BHF和△ECB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BHF=∠ECB}\\{∠HFB=∠CBE}\\{BF=EB}\end{array}\right.$，
∴△BHF≌△ECB，
設點F（x，$\frac{k}{x}$）
∴HF=BC=1，EC=BH=$\frac{k}{x}$-1，
∵HF=x-1，
則x-1=1，即x=2，
又∵S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE²=5，
∴BE=BF=$\sqrt{10}$，
∵EC²+BC²=BE²，
∴（$\frac{k}{x}$-1）²+1=10，即（$\frac{k}{2}$-1）²+1=10，
解得：k=8或k=-4＜0（舍），
故答案為：8．

點評 本題主要考查全等三角形的判定與性質、正方形的性質、等腰三角形的性質等知識點，熟練掌握全等三角形的判定與性質及根據勾股定理得出關于k的方程是解題的關鍵．