Question

6．如圖，已知直線l：y=-2x+2與x軸、y軸交于A、B兩點，平移直線l交y=$\frac{k}{x}$于C、D兩點，且CD=2AB，若AC=5，求D點坐標及k的值．

Answer 1

分析 根據一次函數圖象上點的坐標特征即可得出點A、B的坐標，過C作CE∥x軸，過點D作DE∥y軸交CE于點E，過點C作CM⊥x軸于點M，則△AOB∽△CED，根據相似三角形的性質即可得出DE、CE的長度，設點D的坐標為（a，b），則點C的坐標為（a+2，b-4），根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出b=2a+4①，再在Rt△ACM中，利用勾股定理可得出a²+b²+2a-8b=8②，將①代入②中可解出a的值，進而可得出b的值，將a、b的值代入k=ab中即可求出k值，此題得解．

解答 解：當x=0時，y=-2x+2=2，
∴點B的坐標為（0，2）；
當y=-2x+2=0時，x=1，
∴點A的坐標為（1，0）．
∴OA=1，OB=2．
過C作CE∥x軸，過點D作DE∥y軸交CE于點E，過點C作CM⊥x軸于點M，則△AOB∽△CED，如圖所示．
∴$\frac{DE}{BO}=\frac{CE}{AO}=\frac{CD}{AB}$=2，
∴DE=4，CE=2．
設點D的坐標為（a，b），則點C的坐標為（a+2，b-4），
∴k=ab=（a+2）（b-4），即b=2a+4①．
在Rt△ACM中，AM=a+2-1=a+1，CM=b-4，
∴AC²=AM²+CM²=（a+1）²+（b-4）²=5²，
∴a²+b²+2a-8b=8②．
把①代入②中，得：a²+（2a+4）²+2a-8（2a+4）=8，
整理，得：5a²+2a-24=0，
解得：a=2或a=-$\frac{12}{5}$（舍去），
∴b=2a+4=8，k=ab=2×8=16．
∴點D的坐標為（2，8），k的值為16．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、勾股定理、相似三角形的性質以及一次函數圖象上點的坐標特征，設出點D的坐標，利用相似三角形的性質找出點C的坐標是解題的關鍵．