Question

1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)A₁、A₂是AB的三等分點(diǎn)，點(diǎn)B₁、B₂是BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)C₁、C₂、C₃、C₄是AC的五等分點(diǎn)，記四邊形A₁A₂C₃C₄、B₁B₂C₁C₂的面積分別為S₁、S₂，若S₁+S₂=12，則五邊形A₂BB₁C₂C₃的面積為14．

Answer 1

分析 如圖．連結(jié)BC₂，BC₃．設(shè)a，b，c，d，e分別為其所在三角形的面積．由A₁C₄∥A₂C₃，AA₁=A₁A₂，AC₄=C₄C₃，推出△AA₁C₄∽△AA₂C₃，推出$\frac{a}{a+{S}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，推出a=$\frac{1}{3}$S₁，同理可證b=$\frac{1}{3}$S₂，由S₁+S₂=12，推出a+b=4，由AA₂=2BA₂，推出d=$\frac{1}{2}$（a+S₁），同理e=$\frac{1}{2}$（b+S₂），推出d+e=$\frac{1}{2}$（a+S₁+S₂+b）=8，由此AC₃=2₂C₃，推出c=$\frac{1}{2}$（d+a+S₁）=$\frac{1}{2}$（e+S₂+b），推出2c=$\frac{1}{2}$（d+e+a+b+S₁+S₂）=12，即c=6，根據(jù)五邊形A₂BB₁C₂C₃的面積=d+c+e即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖．連結(jié)BC₂，BC₃．設(shè)a，b，c，d，e分別為其所在三角形的面積．

∵A₁C₄∥A₂C₃，AA₁=A₁A₂，AC₄=C₄C₃，
∴△AA₁C₄∽△AA₂C₃，
∴$\frac{a}{a+{S}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{a}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴a=$\frac{1}{3}$S₁，同理可證b=$\frac{1}{3}$S₂，
∵S₁+S₂=12，
∴a+b=4，
∵AA₂=2BA₂，
∴d=$\frac{1}{2}$（a+S₁），同理e=$\frac{1}{2}$（b+S₂），
∴d+e=$\frac{1}{2}$（a+S₁+S₂+b）=8，
∵AC₃=2₂C₃，
∴c=$\frac{1}{2}$（d+a+S₁）=$\frac{1}{2}$（e+S₂+b），
∴2c=$\frac{1}{2}$（d+e+a+b+S₁+S₂）=12，
∴c=6，
∴五邊形A₂BB₁C₂C₃的面積=c+d+e=14，
故答案為14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用整體的思想思考問(wèn)題，掌握異底同高的三角形的面積比等于底的比，屬于中考填空題中的壓軸題．