Question

9．已知直線L：y=-$\frac{1}{2}$x+2與x軸、y軸交于A、B兩點，在y軸上有一個點C（0，4），動點M從A點出發，以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動．
（1）求A、B兩點的坐標．
（2）求△COM的面積S與點M移動的時間t之間的函數關系式．
（3）當t=6時，
①求直線CM所對應的解析式．
②問直線CM與直線L有怎樣的位置關系？為什么？

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據速度乘以時間等于路程，可得AM的長，根據線段的和差，可得OM的長，根據三角形的面積公式，可得答案；
（3）①求出點M的坐標，利用待定系數法即可解決問題．②直線CM與直線L互相垂直．根據k的乘積為-1即可判斷．

解答 解：（1）設直線L的解析式為y=kx+b，
由直線L：與x軸、y軸分別交于A（4，0）、B（0，2）兩點，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
直線L的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2；

（2）由動點M從A點以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動，t秒運動了t個單位，
即AM=t．
①當0≤t＜4時，由線段的和差得OM=4-t，
△COM的面積S與M的移動時間t之間的函數關系式S=$\frac{1}{2}$OM•OC=$\frac{1}{2}$×4（4-t）=8-2t；
②當t＞4時，由線段的和差得OM=t-4，
△COM的面積S與M的移動時間t之間的函數關系式S=$\frac{1}{2}$OM•OC=$\frac{1}{2}$×4（t-4）=2t-8，
綜上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{8-2t}&{（0≤t＜4）}\\{2t-8}&{（t＞4）}\end{array}\right.$；

（3）①t=6時，M（-2，0），設直線CM的解析式為y=k′x+b′
把C（0，4），M（-2，0）代入得到$\left\{\begin{array}{l}{b′=4}\\{-2k′+b′=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k′=2}\\{b′=4}\end{array}\right.$，
∴直線CM的解析式為y=2x+4．
②直線CM與直線L互相垂直．
∵-$\frac{1}{2}$×2=-1，
∴直線CM與直線L互相垂直．

點評 本題考查了一次函數的綜合題，利用了待定系數法求解析式，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，掌握兩直線垂直的判定方法，屬于中考常考題型．