Question

17．對于任意大于或等于4的偶數，存在下列勾股數：

組別	a	b	c
第1組	4=2×2	3=22-1	5=22+1
第2組	6=2×3	8=32-1	10=32+1
第3組	8=2×4	15=42-1	17=42+1

（1）根據以上規律，請你直接寫出第7組勾股數：
（2）請你猜想出第n組（n為正整數），并證明這是一組勾股數．

Answer 1

分析 （1）根據前面的幾組數可以得到每組勾股數與各組的序號之間的關系，如果是第n組數，則這組數中的第一個數是2（n+1），第二個是：（n+1）²-1，第三個數是：（n+1）²+1．根據這個規律即可解答；
（2）根據勾股定理的逆定理即可求解．

解答 （1）解：觀察前3組數據的規律可知：第一個數是2（n+1）；第二個是：（n+1）²-1；第三個數是：（n+1）²+1．
所以第7組勾股數是16，63，65．
（2）第n組是第一個數是2（n+1）；第二個是：（n+1）²-1；第三個數是：（n+1）²+1．
證明：∵[2（n+1）]²+[（n+1）²-1]²
=4（n+1）²+（n+1）⁴-2（n+1）²+1
=（n+1）⁴+2（n+1）²+1
=[（n+1）²+1]²，
故這是一組勾股數．

點評 此題考查了勾股數，觀察已知的幾組數的規律，是解決本題的關鍵．