Question

20．問題情境：
如圖1，在菱形ABCD中，點E、F分別為AB，BC邊上的點，連接AF，DE相交于點O，且∠AOE=∠ADC，試探究：AF與DE的數(shù)量關系．
特例探究：
如圖2，當菱形ABCD是正方形時，AF與DE有怎樣的數(shù)量關系呢？請你直接寫出結論，不必證明；
類比解答：
類比特例探究的結論，猜想問題情境中AF與DE的數(shù)量關系，并說明理由；
拓展延伸：
將圖1中的菱形ABCD改為?ABCD（如圖3）其中AB=a，AD=b，點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊上的動點，連接EG、HF相交于點O，且∠HOE=∠ADC，試探究：EG與FH的數(shù)量關系，用含a、b的式子直接寫出$\frac{EG}{FH}$的值，不必說明理由．

Answer 1

分析 （1）特例探究：根據(jù)四邊形ABCD是正方形，以及∠AOE=∠ADC可得∠ADE=∠BAF，即可判定△ADE≌△BAF（ASA），進而得出AF=DE；
（2）類比解答：在AB上取點M使得DM=DA，連接DM，交AF于N，再判定△ABF≌△DME，即可得出AF=DE；
（3）拓展延伸：過G作GM⊥AB于M，過H作HN⊥BC于N，根據(jù)平行四邊形面積公式，求出$\frac{GM}{HN}$=$\frac{a}$，再根據(jù)∠GME=∠HNF=90°，∠GEM=∠HFN，證出△GME∽△HNF即可得出$\frac{EG}{FH}$的值．

解答 解：（1）特例探究：AF=DE．
理由：如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BA，∠DAE=∠B=90°，
∵∠AOE=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠DAO=∠BAF+∠DAO=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∴在ADE和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BAF}\\{AD=BA}\\{∠DAE=∠B}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴AF=DE；

（2）類比解答：AF與DE的數(shù)量關系為AF=DE．
理由：如圖1，在AB上取點M使得DM=DA，連接DM，交AF于N，則
∠DAM=∠DMA，DM=AD=AB，
∵∠DAB+∠B=180°，∠DMA+∠DME=180°，
∴∠DME=∠B，
∵∠AOE=∠ADC，
∴∠ADO+∠DAO=∠ADO+∠CDO，
∴∠DAO=∠CDO，
又∵CD∥AB，AD∥BC，
∴∠CDO=∠MED，∠DAO=∠BFA，
∴∠MED=∠BFA，
在△MED和△BFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DME=∠B}\\{∠MED=∠BFA}\\{DM=AB}\end{array}\right.$，
∴△MED≌△BFA（AAS），
∴AF=DE；

（3）拓展延伸：$\frac{EG}{FH}$=$\frac{a}$．
如圖3，過G作GM⊥AB于M，過H作HN⊥BC于N，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵平行四邊形ABCD的面積=AB×GM=BC×HN，
∵AB=a，AD=b，
∴$\frac{GM}{HN}$=$\frac{a}$，
∵GM⊥AB，HN⊥BC，
∴∠GME=∠HNF=90°，
∵∠ADC=∠HOE，
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，
∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
∴△GME∽△HNF，
∴$\frac{EG}{FH}$=$\frac{GM}{HN}$=$\frac{a}$．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，面積公式，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形或相似三角形，依據(jù)全等三角形的對應邊相等或相似三角形的對應邊成比例得出結論．