Question

13．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．P是AB邊上一動點，PD⊥AC于點D，點E在P的右側，且PE=1，連結CE．P從點A出發，沿AB方向運動，當E到達點B時，P停止運動．在整個運動過程中，陰影部分面積S₁+S₂的大小變化情況是（　　）

• A． 一直不變
• B． 一直減小
• C． 一直增大
• D． 先減小后增大

Answer 1

分析 設AP=x，則DP=$\frac{1}{2}$x，則BE=1-x，然后再求得點C到AB的距離，從而可可得到S₁+S₂與x的函數關系，然后依據二次函數的性質求解即可．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2．
依據勾股定理可知：AC=$\sqrt{3}$．
設點C到AB的距離為h，則2h=1×$\sqrt{3}$，解得：h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
所以S₁+S₂=$\frac{1}{2}$DP•AD+$\frac{1}{2}$BE•h=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{1}{2}$（1-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．
對稱軸為x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＞1．
∵AB=2，PE=1，
∴0＜x＜0，
所以S₁+S₂的值一直減小．
故選：B．

點評 本題主要考查的是含30°直角三角形的性質，三角形的面積，二次函數的最值，根據題意列出S₁+S₂與x的函數關系是解題的關鍵．