Question

4．如圖，⊙O是四邊形ABCD的內切圓，切點為E，F，G，H，已知AD∥BC，AB=CD，DO=6cm，CO=8cm，求四邊形ABCD的周長．

Answer 1

分析 首先證明AB+CD=BC+AD，再證明∠DOC=90°，理由勾股定理求出CD，即可解決問題．

解答 解：如圖，

∵⊙O是四邊形ABCD的內切圓，切點為E，F，G，H，
∴AF=AG，BH=BG，CH=CE，DE=DF，
∴BH+CH+AF+DF=BG+CE+AG+DE，
即BC+AD=AB+CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠ODE=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠DCB，
∴∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠DOC=90°，
在Rt△DOC中，CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵AB=CD=10，
∴AB+CD=BC+AD=20，
∴四邊形ABCD的周長為20．

點評 此題主要考查了切線長定理、平行線的性質、直角三角形的判定、勾股定理等知識，正確利用切線長定理得出相等的線段是解題關鍵，記住本題的結論：圓的外切四邊形對邊和相等．