Question

9．如圖，興修水利開渠，其斷面為等腰梯形，要與水平線的夾角為60°，濕透周長為定制l米（l=AB+BC+CD），問渠深x為$\frac{\sqrt{3}}{4}$l米時，可使水流量最大？

Answer 1

分析 設橫截面面積為S，由條件知要使流量最大，只要求橫截面積最大即可，作AE⊥BC，則AE=DF=x，利用三角函數求得AB=CD=$\frac{AE}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x、BE=$\frac{AE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，根據l=AB+BC+CD得BC=l-（AB+CD）=l-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x，AD=BC+2BE=l-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，根據梯形面積公式求得S=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+l-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x）•x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+lx，由二次函數的性質得出其最值情況可得答案．

解答 解：設橫截面面積為S，由條件知要使流量最大，只要求橫截面積最大即可．

過點A作AE⊥BC于點E，作DF⊥BC于點F，
則AE=DF=x，
則AB=CD=$\frac{AE}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，BE=$\frac{AE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵濕透周長為定制l米（l=AB+BC+CD），
∴BC=l-（AB+CD）=l-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x，AD=BC+2BE=l-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+l-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x）•x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+lx，
則當x=-$\frac{l}{2×（-\frac{2\sqrt{3}}{3}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$l時，S取得最大值，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{4}$l．

點評 本題主要考查二次函數的應用，根據題意明確要使流量最大，只要求橫截面積最大是解題的根本，由題中數據表示出梯形的上下底的長是解題的關鍵．