Question

19．如圖，已知拋物線經過點A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M是線段BC上的點（不與B、C重合），過M作NM∥y軸交拋物線于N，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數式表示MN的長；
（3）在（2）的條件下，連接NB，NC，是否存在點m，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值和△BNC的面積；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求二次函數的解析式；
（2）先求直線BC的解析式，表示出M、N兩點的坐標，利用縱坐標的差計算MN的長即可；
（3）根據面積公式得：S_△BNC=S_△CMN+S_△MNB=$\frac{1}{2}$|MN|•|OB|，OB的長是定值為3，所以MN的最大值即為面積的最大值，求MN所表示的二次函數的最值即可．

解答 解：（1）∵拋物線經過點A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點，
∴設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得：3=a（0+1）（0-3），
a=-1，
∴y拋物線的解析式：y=-x²+2x+3；
（2）設直線BC的解析式為：y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
∴M（m，-m+3），
又∵MN⊥x軸，
∴N（m，-m²+2m+3），
∴MN=（-m²+2m+3）-（-m+3）=-m²+3m（0＜m＜3）；
（3）存在，
S_△BNC=S_△CMN+S_△MNB=$\frac{1}{2}$|MN|•|OB|，
∴當|MN|最大時，△BNC的面積最大，
MN=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
當m=$\frac{3}{2}$時，MN的有最大值為$\frac{9}{4}$，
所以當m=$\frac{3}{2}$時，△BNC的面積最大為$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×3=$\frac{27}{8}$．

點評 本題是二次函數的綜合題，難度適中，考查了利用待定系數法求二次函數和一次函數的解析式，并利用鉛直高度與水平寬度的積求三角形的面積，同時要熟練掌握二次函數的最值的求法．