Question

14．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點．
（1）寫出點D到△ABC三個頂點A、B、C的距離的關系（不要求證明）
（2）如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，在移動中保持AN=BM，請判斷△DMN的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形的性質可知CD=BD=AD；
（2）連接AD，可證明△ADM≌△CDN，則可證得DM=DN，∠CDN=∠ADM，再利用AD⊥BC，可求得ND⊥MD，可判定△DMN為等腰直角三角形．

解答 解：
（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D為BC的中點，
∴CD=BD=AD，
即點D到三個頂點的距離相等；
（2）△DMN為等腰直角三角形，
證明如下：
如圖，連接AD，
由（1）可知CD=AD，
∵AC=AB，
∴AD⊥BC，且∠DAB=∠CAD=45°，
∴∠C=∠DAM，
∵AN=BM，
∴CN=AM，
在△ADM和△CDN中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠DAM=∠C}\\{AM=CN}\end{array}\right.$
∴△ADM≌△CDN（SAS），
∴DM=DN，且∠ADM=∠CDN，
∴∠ADM+∠ADN=∠ADN+∠NDC=90°，
∴△DMN為等腰直角三角形．

點評 本題主要考查等腰直角三角形、全等三角形的判定和性質，在（1）中掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵，在（2）中證明△ADM≌△CDN是解題的關鍵．