Question

9．已知：如圖（一）在平面直角坐標(biāo)系中，C為y軸上一點(diǎn)，A為x軸上一點(diǎn)，AC=6，且∠ACO=30°，B是A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，一直線a過y軸上的E點(diǎn)，過A、B作直線a的垂線．垂足分別為M、N，連結(jié)OM、ON．若△OMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形．
（1）求E點(diǎn)的坐標(biāo)，并說明理由．
（2）在（1）問的基礎(chǔ)上，連結(jié)EB，如圖（二），P（m，0）為x軸上B點(diǎn)右側(cè)的一點(diǎn)，連結(jié)EP，以EP為直角邊作等腰直角三角形EPF，連結(jié)FB并延長(zhǎng)交y軸負(fù)半軸于H點(diǎn)．求H點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)△OMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形，以及AM⊥MN，判定△AOM≌△EON（ASA），得出AO=EO，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得AO=$\frac{1}{2}$AC=3，進(jìn)而得出EO=3，即可得到E（0，3）；
（2）先過點(diǎn)F作FG⊥x軸于G，則∠PGF=∠EOP=90°，根據(jù)△EFP是等腰直角三角形，判定△OPE≌△GFP（AAS），得出OP=GF，OE=GP，再根據(jù)OE=OB=3，得出GF=GB，進(jìn)而得到△BOH是等腰直角三角形，可得OB=OH=3，據(jù)此求得H（0，-3）．

解答 解：（1）如圖1，∵△OMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形，
∴∠MNO=∠NMO=45°，MO=NO，
∵AM⊥MN，
∴∠AMO=45°，
∴∠AMO=∠ENO，
∵∠MON=∠AOE=90°，
∴∠AOM=∠EON，
在△AOM和△EON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMO=∠ENO}\\{MO=NO}\\{∠AOM=∠EON}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△EON（ASA），
∴AO=EO，
∵AC=6，且∠ACO=30°，
∴Rt△AOC中，AO=$\frac{1}{2}$AC=3，
∴EO=3，
即E（0，3）；

（2）如圖2，過點(diǎn)F作FG⊥x軸于G，則∠PGF=∠EOP=90°，
∵△EFP是等腰直角三角形，
∴PE=FP，∠EPF=90°，
∴∠OPE+∠GPF=90°=∠GFP+∠GPF，
∴∠OPE=∠GFP，
在△OPE和△GFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PGF=∠EOP}\\{∠OPE=∠GFP}\\{PE=FP}\end{array}\right.$，
∴△OPE≌△GFP（AAS），
∴OP=GF，OE=GP，
∴OG=OP+GP=GF+OE，
又∵OG=OB+BG，
∴GF+OE=OB+BG，
∵B是A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，AO=3，OE=3，
∴OE=OB=3，
∴GF=GB，
∴∠GBF=45°=∠OBH，
又∵∠BOH=90°，
∴△BOH是等腰直角三角形，
∴OB=OH=3，
∴H（0，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行求解．解題時(shí)注意：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．