Question

8．如圖，函數y=-$\frac{4}{3}$x+8的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點，點C在y軸上，AC平分∠OAB．
（1）求點A、B的坐標；
（2）求△ABC的面積；
（3）點P在坐標平面內，且以A、B、P為頂點的三角形是等腰直角三角形，請你直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）在函數解析式中分別令y=0和x=0，解相應方程，可求得A、B的坐標；
（2）過C作CD⊥AB于點D，由勾股定理可求得AB，由角平分線的性質可得CO=CD，則可用CO表示出△AOB面積，可求得CO，則可求得△ABC的面積；
（3）可設P（x，y），則可分別表示出AP²、BP²，分∠PAB=90°、∠PBA=90°和∠APB=90°三種情況，分別可得到關于x、y的方程組，可求得P點坐標．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{4}{3}$x+8中，令y=0可得0=-$\frac{4}{3}$x+8，解得x=6，令x=0，解得y=8，
∴A（6，0），B（0，8）；
（2）如圖，過點C作CD⊥AB于點D，

∵AC平分∠OAB，
∴CD=OC，
由（1）可知OA=6，OB=8，
∴AB=10，
∵S_△AOB=S_△AOC+S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×6OC+$\frac{1}{2}$×10OC，解得OC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×10×3=15；
（3）設P（x，y），則AP²=（x-6）²+y²，BP²=x²+（y-8）²，且AB²=100，
∵△PAB為等腰直角三角形，
∴有∠PAB=90°、∠PBA=90°和∠APB=90°三種情況，
①當∠PAB=90°時，則有PA²=AB²且PA²+AB²=BP²，
即$\left\{\begin{array}{l}{（x-6）^{2}+{y}^{2}=100}\\{（x-6）^{2}+{y}^{2}+100={x}^{2}+（y-8）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=13}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
此時P點坐標為（13，6）或（-2，-6）；
②∠PBA=90°時，則有PB²=AB²且PB²+AB²=PA²，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y-8）^{2}=100}\\{{x}^{2}+（y-8）^{2}+100=（x-6）^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=14}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-8}\\{y=2}\end{array}\right.$，
此時P點坐標為（8，14）或（-8，2）；
③∠APB=90°時，則有PA²=PB²且PA²+PB²=AB²，
即$\left\{\begin{array}{l}{（x-6）^{2}+{y}^{2}={x}^{2}+（y-8）^{2}}\\{（x-6）^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}+（y-8）^{2}=100}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=7}\\{y=7}\end{array}\right.$，
此時P點坐標為（-1，-1）或（7，7）；
綜上可知使△PAB為等腰直角三角形的P點坐標為此時P點坐標為（13，6）或（-2，-6）或（8，14）或（-8，2）或（-1，-1）或（7，7）．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及函數圖象與坐標軸的交點、勾股定理、三角形的面積、角平分線的性質、等腰直角三角形的性質、分類討論思想及方程思想等知識．在（1）不注意函數圖象與坐標軸的交點的求法，在（2）中利用角平分線的性質和等積法求得OC的長是解題的關鍵，在（3）中用P點坐標分別表示出PA、PB的長，由等腰直角三角形的性質得到關于P點坐標的方程組是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，計算較大，難度較大．