Question

17．如圖，拋物線L：y=ax²（a＞0）與直線y=kx相交于點A（點A在第一象限），拋物線L沿直線y=kx平移得到拋物線L₁，當拋物線L₁過點A時，交直線y=kx于點B．過點B作BC∥x軸交拋物線L于C、E兩點（點C在第二象限）．交拋物線L₁于另一點D．
（1）如圖1，若a=1，k=1，①求OB的長；②求證：點D在y軸上；
（2）如圖2，若k=$\frac{1}{2}$時，不論a取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是否唯一確定？若是，請求出比值；若不是，請說明理由．
（3）不論a，k取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是否唯一確定？若是，請求出比值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先將a=1，k=1代入拋物線L的解析式和直線AB解析式中，進而確定出點A的坐標，再利用平移確定出拋物線L₁的解析式，拋物線L₁和直線AB解析式聯立確定出點B的坐標，再利用BC∥x軸，把點B的縱坐標代入拋物線L₁中，確定出點D的坐標；
（2）先將k=$\frac{1}{2}$確定出直線AB的解析式，和拋物線L的解析式聯立確定出點A的坐標，再利用平移確定出拋物線L₁的解析式，拋物線L₁和直線AB解析式聯立確定出點B的坐標，再利用BC∥x軸，把點B的縱坐標代入拋物線L，L₁中，確定出點C、E和D的坐標；
（3）直接聯立拋物線L的解析式和直線AB的解析式確定出點A的坐標，其余同（2）的方法．

解答 解：（1）當a=1，k=1時，拋物線L的解析式為：y=x²①與直線AB的解析式為y=x②，
聯立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=x}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（是原點）或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴A（1，1），
∵拋物線L沿直線y=x平移得到拋物線L₁，當拋物線L₁過點A（1，1），
∴拋物線L₁解析式為y=（x-1）²+1③，
聯立②③得，$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=（x-1）^{2}+1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$（點A的坐標）或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴B（2，2），
①∴OB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
②把y=2代入拋物線L₁解析式y=（x-1）²+1中，得，（x-1）²+1=2，
∴x=0或x=2（點B的橫坐標），
∴D（0，2），
∴點D在y軸上；

（2）當k=$\frac{1}{2}$時，不論a取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是唯一確定，此值為（$\sqrt{2}$-1）．
理由：當k=$\frac{1}{2}$時，直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x④，
∵拋物線L的解析式為：y=ax²（a＞0）⑤，
聯立④⑤得，$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（原點）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2a}}\\{y=\frac{1}{4a}}\end{array}\right.$，
∴A（$\frac{1}{2a}$，$\frac{1}{4a}$），
∴拋物線L₁解析式y=a（x-$\frac{1}{2a}$）²+$\frac{1}{4a}$⑥，
聯立④⑥得，$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2a}}\\{y=\frac{1}{4a}}\end{array}\right.$（點A的坐標）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{a}}\\{y=\frac{1}{2a}}\end{array}\right.$
∴B（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2a}$），
∵BC∥x軸，
∴把y=$\frac{1}{2a}$代入拋物線L₁解析式y=a（x-$\frac{1}{2a}$）²+$\frac{1}{4a}$中，得x=0或x=$\frac{1}{a}$（點B的橫坐標），
∴D（0，$\frac{1}{2a}$），
把y=$\frac{1}{2a}$代入拋物線L解析式y=ax²中，得x=±$\frac{\sqrt{2}}{2a}$，
∴C（-$\frac{\sqrt{2}}{2a}$，$\frac{1}{2a}$），E（$\frac{\sqrt{2}}{2a}$，$\frac{1}{2a}$），
∴BE=$\frac{1}{a}$-$\frac{\sqrt{2}}{2a}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2a}$，DC=0-（-$\frac{\sqrt{2}}{2a}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2a}$，
∴$\frac{BE}{DC}=\frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2a}}{\frac{\sqrt{2}}{2a}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1．
∴當k=$\frac{1}{2}$時，不論a取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是唯一確定，此值為（$\sqrt{2}$-1）．

（3）不論a，k取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是唯一確定，此值為（$\sqrt{2}$-1）．
理由：∵拋物線L：y=ax²⑦（a＞0）與直線y=kx⑧相交于點A（點A在第一象限），
∴聯立⑦⑧得，$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（原點坐標）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{k}{a}}\\{y=\frac{{k}^{2}}{a}}\end{array}\right.$，
∴A（$\frac{k}{a}$，$\frac{{k}^{2}}{a}$），
∵拋物線L沿直線y=kx平移得到拋物線L₁，當拋物線L₁過點A，
∴拋物線L₁的解析式為y=a（x-$\frac{k}{a}$）²+$\frac{{k}^{2}}{a}$=ax²-2kx+$\frac{2{k}^{2}}{a}$⑨，
聯立⑧⑨得，$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=a{x}^{2}-2kx+\frac{2{k}^{2}}{a}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{k}{a}}\\{y=\frac{{k}^{2}}{a}}\end{array}\right.$（點A的坐標）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2k}{a}}\\{y=\frac{2{k}^{2}}{a}}\end{array}\right.$，
∴B（$\frac{2k}{a}$，$\frac{2{k}^{2}}{a}$），
∴BC∥x軸，把y=$\frac{2{k}^{2}}{a}$代入拋物線L₁解析式y=ax²-2kx+$\frac{2{k}^{2}}{a}$中，得x=0或x=$\frac{2k}{a}$（點B的橫坐標），
∴D（0，$\frac{2{k}^{2}}{a}$），
把y=$\frac{2{k}^{2}}{a}$代入拋物線L解析式y=ax²中，得x=±$\frac{\sqrt{2}k}{a}$，
∴C（-$\frac{\sqrt{2}k}{a}$，$\frac{2{k}^{2}}{a}$），E（$\frac{\sqrt{2}k}{a}$，$\frac{2{k}^{2}}{a}$），
∴BE=$\frac{2k}{a}$-$\frac{\sqrt{2}k}{a}$=$\frac{（2-\sqrt{2}）k}{a}$，DC=0-（-$\frac{\sqrt{2}k}{a}$）=$\frac{\sqrt{2}k}{a}$，
∴$\frac{BE}{DC}=\frac{\frac{（2-\sqrt{2}）k}{a}}{\frac{\sqrt{2}k}{a}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1．
∴不論a，k取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是唯一確定，此值為（$\sqrt{2}$-1）．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，直線和拋物線的交點坐標的確定等知識點，會解含字母系數的方程組是解本題的關鍵．