Question

15．【新知理解】
如圖①，若點A、B在直線l同側，在直線l上找一點P，使AP+BP的值最�。�
作法：作點A關于直線l的對稱點A'，連接A'B交直線l于點P，則點P即為所求．
【解決問題】
如圖②，AD是邊長為6cm的等邊三角形ABC的中線，點P、E分別在AD、AC上，則PC+PE的最小值為3$\sqrt{3}$cm；
【拓展研究】
如圖③，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD．（保留作圖痕跡，并對作圖方法進行說明）

Answer 1

分析 （1）作點E關于AD的對稱點F，連接PF，則PE=PF，根據兩點之間線段最短以及垂線段最短，得出當CF⊥AB時，PC+PE=PC+PF=CF（最短），最后根據勾股定理，求得CF的長即可得出PC+PE的最小值；
（2）根據軸對稱的性質進行作圖．方法1：作B關于AC的對稱點E，連接DE并延長，交AC于P，連接BP，則∠APB=∠APD．方法2：作點D關于AC的對稱點D'，連接D'B并延長與AC的交于點P，連接DP，則∠APB=∠APD．

解答 解：（1）【解決問題】
如圖②，作點E關于AD的對稱點F，連接PF，則PE=PF，

當點F，P，C在一條直線上時，PC+PE=PC+PF=CF（最短），
當CF⊥AB時，CF最短，此時BF=$\frac{1}{2}$AB=3（cm），
∴Rt△BCF中，CF=$\sqrt{B{C}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$（cm），
∴PC+PE的最小值為3$\sqrt{3}$cm，
故答案為：3$\sqrt{3}$；

（2）【拓展研究】
方法1：如圖③，作B關于AC的對稱點E，連接DE并延長，交AC于P，點P即為所求，連接BP，則∠APB=∠APD．

方法2：如圖④，作點D關于AC的對稱點D'，連接D'B并延長與AC的交于點P，點P即為所求，連接DP，則∠APB=∠APD．

點評 本題屬于軸對稱-最短路線問題，本題考查了勾股定理、軸對稱的性質，利用軸對稱作圖與基本作圖等知識點的綜合應用，熟知兩點之間，線段最短以及垂線段最短是解答此題的關鍵．