Question

4．如圖所示，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC，∠ACB，AD、CE相交于點O，下列結論不一定正確的是（　　）

• A． ∠AOC=120°
• B． OE=OD
• C． BE=BD
• D． S_△AEO+S_△CDO=S_△ACO

Answer 1

分析 由題中條件可得△AOE≌△AOF，進而得出∠AOE=∠AOF，再利用∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC，∠ACB，即可得出答案；過O作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分別為M、N，由條件可知O在∠B的平分線上，結合條件可求得∠EOD=∠MON=120°，可得到∠EOM=∠NOD，可證明△EOM≌△DON，可證明OD=OE；通過角之間的轉化可得出△COF≌△COD，進而可得出線段之間的關系，即可得出結論．

解答 解：如圖，在AC上截取AF=AE，連接OF
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AOE和△AOF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAO=∠FAO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$
∴△AOE≌△AOF（SAS），
∴∠AOE=∠AOF，
∵∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC，∠ACB，
∴∠AOC=120°；
∵∠AOC=120°，∴∠AOE=60°，
∴∠AOF=∠COD=60°=∠COF，
在△COF和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FOC=∠DOC}\\{CO=CO}\\{∠FCO=∠DCO}\end{array}\right.$
∴△COF≌△COD（ASA）
∴CF=CD，
∴AC=AF+CF=AE+CD，
∴S_△AEO+S_△CDO=S_△ACO；
過O作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分別為M、N，
∵AD、CE為角平分線，
∴點O在∠B的平分線上，
∴OM=ON，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-60°=120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，
∴∠BAC=2∠OAC，∠BCA=2∠OCA，
∴∠OAC+∠OCA=60°，
∴∠AOC=120°，
∴∠EOD=120°，
在四邊形BMON中，∠B=60°，∠BMO=∠BNO=90°，
∴∠MON=120°，
∴∠EOM=∠NOD，
在△EOM和△DON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOM=∠DON}\\{OM=ON}\\{∠OME=∠OND}\end{array}\right.$，
∴△EOM≌△DON（ASA），
∴OD=OE．
故選C．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定及性質，根據在AC上截取AF=AE得出△AOE≌△AOF是解題關鍵．