Question

13．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC中點，點D關于直線
AB的對稱點是F，連接CF、AD交于點E．
（1）求證：△ACD≌△CBF；
（2）求證：CF⊥AD．

Answer 1

分析 （1）根據線段垂直平分線的性質得到BD=BF，等量代換CD=BF，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；
（2）根據全等三角形的性質得到∠CAD=∠BCF，根據余角的性質得到∠ACE+∠CAE=90°，根據垂直的定義即可得到結論．

解答 證明：（1）∵點D關于直線AB的對稱點是F，
∴BD=BF，
∵D為BC中點，
∴CD=BD，
∴CD=BF，
在△ACD與△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠CBF=90°}\\{CD=BF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBF；

（2）∵△ACD≌△CBF，
∴∠CAD=∠BCF，
∵∠BCF+∠ACE=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠AEC=90°，
∴CF⊥AD．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定，余角的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．