Question

4．如圖，在⊙O的內接三角形ABC中，∠ABC=60°，AC=5，過點A作⊙O的切線交直徑CD的延長線于點P．
（1）求∠ACP的度數；
（2）求PD的長；
（3）求陰影部分的面積S．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ADC中，求出∠ADC即可解決問題．
（2）首先證明PA=AC，在Rt△PAO中，根據AO=PA•tan30°=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，OP=2OA=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$即可解決問題．
（3）根據S_陰=S_扇形OAC-S_△AOC計算即可．

解答 解：（1）如圖連結OA、AD．
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DAC=90°，
∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACP=30°，

（2）∵PA為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵∠AOD=2∠ACD=60°，
∴∠P=90°-60°=30°，
∴∠P=∠ACP，
∴AP=AC=5，
在Rt△PAO中，AO=PA•tan30°=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，OP=2OA=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴PD=OP=OD=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

（3）S_陰=S_扇形OAC-S_△AOC=$\frac{120•π•（\frac{5\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$•5•$\frac{5\sqrt{3}}{6}$=$\frac{25π}{9}$-$\frac{25\sqrt{3}}{12}$．

點評 本題考查切線的性質、圓周角定理、扇形的面積公式、直角三角形30度角性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．