Question

14．如圖，在矩形ABCD中，AO=10，AB=8，分別以OC、OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，點D（3，10）、E（0，6），拋物線y=ax²+bx+c經過O，D，C三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）一動點P從點E出發，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動點Q從點C出發，沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動，當點P運動到點C時，兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，當t為何值時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似？
（3）點N在拋物線對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使四邊形MENC是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M與點N的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質可求得C點坐標，再利用待定系數法可求得拋物線的解析式；
（2）用t可分別表示出CQ、PC的長，當∠PQC=∠DAE=90°，有△ADE∽△QPC；當∠QPC=∠DAE=90°，有△ADE∽△PQC，利用相似三角形的性質可分別得到關于t的方程，可求得t的值；
（3）由題意可知CE為平行四邊形的對角線，根據拋物線的對稱性可知當M為拋物線頂點時滿足條件，再由平行四邊形的性質可知線段MN被線段EC平分，可求得N點坐標．

解答 解：
（1）∵四邊形ABCO為矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
∴C（8，0），
∵拋物線y=ax²+bx+c過點D（3，10），C（8，0），O（0，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=10}\\{64a+8b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x；
（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．
而CQ=t，EP=2t，
∴PC=10-2t．
當∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
∴$\frac{CQ}{AE}$=$\frac{CP}{DE}$，即$\frac{t}{4}$=$\frac{10-2t}{5}$，解得t=$\frac{40}{13}$．
當∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
∴$\frac{PC}{AE}$=$\frac{CQ}{DE}$，即$\frac{10-2t}{4}$=$\frac{t}{5}$，解得t=$\frac{25}{7}$．
∴當t的$\frac{40}{13}$或$\frac{25}{7}$時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似；
（3）存在符合條件的M、N點，
EC為平行四邊形的對角線，由于拋物線的對稱軸經過EC中點，
若四邊形MENC是平行四邊形，那么M點必為拋物線頂點；
則M（4，$\frac{32}{3}$）；
而平行四邊形的對角線互相平分，那么線段MN必被EC中點（4，3）平分，
則N（4，-$\frac{14}{3}$）；
∴存在符合條件的M、N點，且它們的坐標為M（4，$\frac{32}{3}$），N（4，-$\frac{14}{3}$）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、相似三角形的判定和性質、平行四邊形的性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數法的應用，在（2）中用t表示出CQ和CP的長，根據相似三角形的性質得到關于t的方程是解題的關鍵，在（3）中確定出M點的位置是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．