Question

4．如圖1，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于點A（4，0）和點B（-1，0），與y軸交干點C，連結BC，CE∥x軸交拋物線于點E．
（1）求拋物線的解析式．
（2）拋物線對稱軸交x軸于點F，連結CF，EF，直線y=kx（x＞0）與直線CA交于點D，當OD平分△BCA的面積時，求證：點D是△CEF的內心
（3）如圖2，過點E作ER⊥x軸于點R，G是線段OR上動點，作ES⊥CG于點S．
①當△ESR是等腰三角形時，求OC的長．
②若點B₁與點B關于直線CG對稱，當EB₁的值最小時，直接寫出OG的值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于點A（4，0）和點B（-1，0），可知拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-4）（x+1），寫成一般式即可．
（2）首先求出點D的坐標，只要證明DF平分∠CFE，CD平分∠ECF即可．
（3）①分三種情形，想辦法列出方程即可解決問題．②如圖由題意，動點B′在以C為圓心$\sqrt{5}$為半徑的⊙C上，易知當B′在線段CE上時，EB′最小．此時∠ECG=∠CGB=∠BCG，推出BC=BG，推出OG=BC-OB=$\sqrt{5}$-1．

解答 （1）解：∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于點A（4，0）和點B（-1，0），
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-4）（x+1）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．

（2）證明：如圖1中，

∵A（4，0），B（-1，0），C（0，2），
∴OB=1，OA=4，OC=2，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，設D（m，-$\frac{1}{2}$m+2），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×5×2=5，
由題意S_△AOD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$m+2）=$\frac{5}{2}$，
∴m=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{4}$），
∵拋物線的對稱軸x=$\frac{3}{2}$，
∴點D在對稱軸上，DF平分∠CFE，
在Rt△COF中，CF=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，∵AF=$\frac{5}{2}$，
∴CF=AF，
∴∠FAC=∠FCA，
∵CE∥OA，
∴∠ECA=∠CAF=∠ACF，
∴CD平分∠ECF，
∴點D是△ECF的內心．

（3）①如圖2中，設G（m，0），

當ES=ER時，由△OCG∽△SEC，
∴$\frac{OC}{SE}$=$\frac{OG}{CS}$，
在Rt△CES中，CS=$\sqrt{C{E}^{2}-E{S}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{2}{2}$=$\frac{m}{\sqrt{5}}$，
∴m=$\sqrt{5}$，
∴OG=$\sqrt{5}$．
當SE=ER時，如圖3中，作SN⊥ER于N，則EN=NR=1，S（$\frac{1}{2}$m，1），SN=3-$\frac{m}{2}$，

由△OCG∽△NSE，可得$\frac{OG}{EN}$=$\frac{OC}{SN}$，
∴$\frac{m}{1}$=$\frac{2}{3-\frac{m}{2}}$，
解得m=3-$\sqrt{5}$或3+$\sqrt{5}$（舍棄），
∴OG=3-$\sqrt{5}$．
當RE=RS時，如圖4中，作RN⊥SE于N，GM⊥RN于M．則SN=EN=GM，設SN=EN=GM=x，

由△OCG∽△MGR，可得$\frac{CG}{GR}$=$\frac{OC}{GM}$，
∴$\frac{\sqrt{4+{m}^{2}}}{3-m}$=$\frac{2}{x}$，
∴x=$\frac{2（3-m）}{\sqrt{4+{m}^{2}}}$，
∴SN=EN=GM=$\frac{2（3-m）}{\sqrt{4+{m}^{2}}}$，
由△OCG∽△NRE，可得$\frac{OG}{EN}$=$\frac{CG}{ER}$，
∴$\frac{m}{\frac{2（3-m）}{\sqrt{4+{m}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{4+{m}^{2}}}{2}$，
解得m=$\frac{3}{2}$，
∴OG=$\frac{3}{2}$，
綜上所述，當△ESR是等腰三角形時，OG的長為$\sqrt{5}$或3-$\sqrt{5}$或$\frac{3}{2}$．

②如圖5中，

如圖由題意，動點B′在以C為圓心$\sqrt{5}$為半徑的⊙C上，易知當B′在線段CE上時，EB′最小．
此時∠ECG=∠CGB=∠BCG，
∴BC=BG，
∴OG=BC-OB=$\sqrt{5}$-1．

點評 本題考查二次函數綜合題、待定系數法、等腰三角形的判定和性質、圓的有關知識、勾股定理、三角形的內心、一元二次方程等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數，構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．