Question

11．觀察下列各式：
1³=1=$\frac{1}{4}$×1²×2²
1³+2³=9=$\frac{1}{4}$×2²×3²
1³+2³+3³=36=$\frac{1}{4}$×3²×4²
1³+2³+3³+4³=100=$\frac{1}{4}$×4²×5²
…
回答下面的問題：
（1）猜想1³+2³+3³+…+（n-1）³+n³=$\frac{1}{4}$n²（n+1）²
（2）利用你得到的（1）中的結(jié)論，計算1³+2³+3³+…+99³+100³的值；
（3）計算：
①21³+22³+…+99³+100³的值；
②2³+4³+6³+…+98³+100³的值．

Answer 1

分析 （1）（2）觀察已知的等式，發(fā)現(xiàn)：等式的左邊是連續(xù)自然數(shù)的立方和，等式的右邊是連續(xù)自然數(shù)的和的平方；由此得出答案即可；
（3）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）$\frac{1}{4}$n²（n+1）²；
（2）1³+2³+3³+…+100³=$\frac{1}{4}$×100²×101²=25502500；
（3）①原式=1³+2³+3³+…+99³+100³-（1³+2³+3³+4³+…20³）=$\frac{1}{4}$×100²×101²-$\frac{1}{4}$×20²×21²=25458400；
②原式=2³×（1³+2³+3³++…50³=8×$\frac{1}{4}$×50²×51²=13005000．

點評 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字的變化規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．