Question

11．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形ABCO的邊OC落在x軸上，且AB∥OC，BC⊥OCAB=4，BC=6，OC=8，正方形ODEF的兩邊分別落在坐標(biāo)軸上，且它的面積等于直角梯形ABCO的面積．將正方形ODEF沿x軸的正方向平移，設(shè)它與梯形的重疊部分的面積為S．
（1）分析與計(jì)算：求正方形ODEF的邊長(zhǎng)；
（2）操作與求解：
①正方形ODEF平移過(guò)程中，通過(guò)操作、觀察，試判斷S（S＞0）的變化情況是C．
A、逐漸增大    B、逐漸減少    C、先增大后減少    D、先減少后增大
②當(dāng)正方形ODEF頂點(diǎn)O移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，求S的值．
（3）探究與歸納：
設(shè)正方形ODEF頂點(diǎn)O向右移動(dòng)的距離為x，求重疊部分面積S與x的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)梯形及正方形的面積公式和它們的面積相等，可求出正方形的邊長(zhǎng)；
（2）①由圖形的移動(dòng)可知，從OF出發(fā)，重疊部分面積逐漸增大，當(dāng)OF和BC重合時(shí)面積最大，繼續(xù)移動(dòng)時(shí)，面積將減小；②求重疊部分面積時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為S_梯形AMDG+S_矩形AGCB．
（3）依據(jù)題意將圖形平移，由于移動(dòng)的距離不同，分情況討論，重疊部分為三角形、五邊形和矩形：①利用三角形的面積公式列等式；②根據(jù)梯形面積公式列等式；③④利用分割法將五邊形化為三角形和梯形解答；⑤根據(jù)矩形面積公式解答．

解答 解：（1）∵BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8，
∴梯形ABCO的面積=$\frac{1}{2}$（4+8）×6=36，
∵正方形的面積等于直角梯形ABCO的面積，
∴S_ODEF=S_ABCD=36，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，
∴x²=36，
解得x=6或x=-6（舍去），
∴正方形ODEF的邊長(zhǎng)為6；

（2）①由圖可得，將正方形ODEF沿x軸的正方向平移，它與梯形的重疊部分的面積先增大后減少，
故答案為：C；
②如圖所示，當(dāng)正方形ODEF頂點(diǎn)O移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，

設(shè)AO與DE交于點(diǎn)G，
∵CD=6，OC=8，BE=6，AB=4，
∴OD=8-6=2，AE=6-4=2，
∴AE=OD，
在△AEG和△ODG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠ODG}\\{∠EGA=∠DGO}\\{AE=OD}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△ODG（AAS），
∴EG=DG=$\frac{1}{2}$DE=3，
∴△AEG面積=$\frac{1}{2}$AE×EG=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
∴正方形與梯形的重疊部分的面積=36-3=33，
即S=33；

（3）①當(dāng)0≤x＜4時(shí)，重疊部分為三角形，如圖①，

由圖可得△OMO'∽△OAN，
∴$\frac{MO'}{6}$=$\frac{x}{4}$，
∴MO'=$\frac{3}{2}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$OO'×MO'=$\frac{1}{2}$x×$\frac{3}{2}$x=$\frac{3}{4}{x}^{2}$；
②當(dāng)4≤x＜6時(shí)，重疊部分為直角梯形，如圖②，

CO'=8-x，
S=36-（8-x）×6=6x-12；
③當(dāng)6≤x＜8時(shí)，重疊部分為五邊形，如圖③，

OD=x-6，
∴MD=$\frac{3}{2}$（x-6），AF=x-4，AE=6-（x-4），
∴S=$\frac{1}{2}$[$\frac{3}{2}$（x-6）+6]×[6-（x-4）]+（x-4）×6
=-$\frac{3}{4}$x²+15x-39；
④當(dāng)8≤x＜10時(shí)，重疊部分為五邊形，如圖④，

S=S_AFO'DM-S_BFO'C=$\frac{1}{2}$[（x-4）+x]×6-$\frac{1}{2}$×（x-6）×$\frac{3}{2}$（x-6）-（x-8）×6=-$\frac{3}{4}$x²+9x+9；
⑤當(dāng)10≤x≤14時(shí)，重疊部分為矩形，如圖⑤，

S=[8-（x-6）]×6=84-6x．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了直角梯形、正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)題意畫(huà)出圖形進(jìn)行分情況討論．