Question

1．（1）填空

①把一張長方形的紙片按如圖①所示的方式折疊，EM，F(xiàn)M為折痕，折疊后的C點落在B₁M或B₁M的延長線上，那么∠EMF的度數(shù)是90°；
②把一張長方形的紙片按如圖②所示的方式折疊，B點與M點重合，EM，F(xiàn)M為折痕，折疊后的C點落在A₁M或A₁M的延長線上，那么∠EMF的度數(shù)是45°．
（2）解答
①把一張長方形的紙片按如圖③所示的方式折疊，EM，F(xiàn)M為折痕，折疊后的C點落在B₁M或B₁M的延長線左側(cè)，且∠EMF=80°，求∠C₁MB₁的度數(shù)；
②把一張長方形的紙片按如圖④所示的方式折疊，B點與M點重合，EM，F(xiàn)M為折痕，折疊后的C點落在A₁M或A₁M的延長線右側(cè)，且∠EMF=60°，求∠C₁MA₁的度數(shù)．
（3）探究
把一張四邊形的紙片按如圖⑤所示的方式折疊，EB，F(xiàn)B為折痕，設(shè)∠ABC=α°，∠EBF=β°，∠A₁BC₁=γ°，求α，β，γ之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）①如圖①中，由∠EMF=∠EMC₁+∠C₁MF=$\frac{1}{2}$（∠BMC₁+∠C₁MC）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，即可解決問題．②如圖②中，由∠EBF=∠EBC₁+∠C₁BF=$\frac{1}{2}$（∠ABC₁+∠C₁BC）=$\frac{1}{2}$×90°=45°，即可解決問題．
（2）①如圖③中，由折疊可知，∠CMF=∠FMC₁，∠BME=∠EMB₁，由∠C₁MF+∠EMB₁-∠EMF=∠C₁MB₁，推出∠CMF+∠BME-∠EMF=∠C₁MB₁，推出（∠BMC-∠EMF）-∠EMF=∠C₁MB₁，由此即可解決問題．②如圖④中，根據(jù)折疊可知，∠CMF=∠C₁MF，∠ABE=∠A₁BE，由2∠CMF+2∠ABE+∠A₁MC₁=90°，推出2（∠CMF+∠ABE）+∠A₁MC₁=90°，推出2（90°-∠EMF）+∠A₁MC₁=90°，由此即可解決問題．
（3）如圖中⑤-1中，由折疊可知，α-β=β-γ，推出α+γ=2β；如圖⑤-2中，由折疊可知，α-β=β+γ，推出α-γ=2β，即可解決問題．

解答 解：（1）①如圖①中，
∵∠EMC₁=$\frac{1}{2}$∠BMC₁，∠C₁MF=$\frac{1}{2}$∠C₁MC，
∴∠EMF=∠EMC₁+∠C₁MF=$\frac{1}{2}$（∠BMC₁+∠C₁MC）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
故答案為90°．

②如圖②中，
∵∠EBA₁=$\frac{1}{2}$∠ABC₁，∠C₁BF=$\frac{1}{2}$∠C₁BC，
∴∠EBF=∠EBC₁+∠C₁BF=$\frac{1}{2}$（∠ABC₁+∠C₁BC）=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
故答案為45°


（2）①如圖③中，

由折疊可知，∠CMF=∠FMC₁，∠BME=∠EMB₁，
∵∠C₁MF+∠EMB₁-∠EMF=∠C₁MB₁，
∴∠CMF+∠BME-∠EMF=∠C₁MB₁，
∴（∠BMC-∠EMF）-∠EMF=∠C₁MB₁，
∴180°-80°=∠C₁MB₁=20°．

②如圖④中，

根據(jù)折疊可知，∠CMF=∠C₁MF，∠ABE=∠A₁BE，
∵2∠CMF+2∠ABE+∠A₁MC₁=90°，
∴2（∠CMF+∠ABE）+∠A₁MC₁=90°，
∴2（90°-∠EMF）+∠A₁MC₁=90°，
∴2（90°-60°）+∠A₁MC₁=90°，
∴∠A₁MC₁=30°．

（3）如圖中⑤-1中，
由折疊可知，α-β=β-γ，
∴α+γ=2β．
如圖⑤-2中，
由折疊可知，α-β=β+γ，
∴α-γ=2β．

點評 本題考查幾何變換綜合題、矩形的性質(zhì)、翻折不變性等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握翻折不變性解決問題，靈活應(yīng)用角的和差定義解決問題，屬于中考�？碱}型．