Question

11．如圖，在平面直角坐標系內，點O為坐標原點，直線y=$\frac{1}{2}$x+1與拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c交于A，B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c 交x軸正半軸于點C，橫坐標為t的點P在第四象限的拋物線上，過點P作AB的垂線交x軸于點E，點Q為垂足，設CE的長為d，求d與t之間的函數關系式，直接寫出自變量t的取值范圍：
（3）在（2）的條件下，過點B作y軸的平行線交x軸于點D，連接DQ．當∠AQD=3∠PQD時，求點P坐標．

Answer 1

分析 （1）先求得點A和點B的坐標，將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式求得b、c的值可得到拋物線的解析式；
（2）先求得點C的坐標，設點P的坐標為（t，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-3），EC的解析式為y=-2x+b，將點P的坐標代入可求得b的值，得到直線EC的解析式為y=-2x+$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t-3，接下來，求得點E的坐標，依據d=EC可得到d與t的函數關系是；
（3）過點D作CF⊥AB，垂足為F．先證明△QFD為等腰直角三角形，可得到QF=DF，由AB的解析式可知tan∠FAD=$\frac{1}{2}$，z則Q為AF的中點，故此E為AD的中點，則可得到EC的長，由d和t的函數關系是可得到t的值．

解答 解：（1）令y=0得：$\frac{1}{2}$x+1=0，解得：x=-2，
∴點A（-2，0）．
將x=4代入得：y=$\frac{1}{2}$×4+1=3，
∴B（4，3）．
將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{2-2b+c=0}\\{8+4b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{2}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}x$-3．
（2）如圖1所示：

令y=0得：0=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}x$-3，解得：x₁=-2，x₂=3，
∴點C的坐標為（3，0）．
設點P的坐標為（t，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-3）．
∵EC⊥AB，
∴設EC的解析式為y=-2x+b．
將點P的坐標代入得：-2t+b=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-3，解得b=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t-3．
設直線EC的解析式為y=-2x+$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t-3．
令y=0，得：2x+$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t-3=0，解得：x=$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{4}$t-$\frac{3}{2}$．
∴點E（$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{4}$t-$\frac{3}{2}$，0）．
∴EC=3-（$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{4}$t-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{4}$t²-$\frac{3}{4}$t+$\frac{9}{2}$．
∴d=-$\frac{1}{4}$t²-$\frac{3}{4}$t+$\frac{9}{2}$．
∵點P在第四象限，
∴0＜t＜3．
（3）如圖2所示：過點d作CF⊥AB，垂足為F．

∵∠AQD=3∠PQD，∠AQP=90°，
∴∠PQD=45°．
∴∠DQF=45°．
∴QF=DF．
∵AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴tan∠FAD=$\frac{1}{2}$，即DF=$\frac{1}{2}$AF．
∴Q為AF的中點．
∵QP∥DF，
∴E為AD的中點．
∴E（1，0）．
∴EC=2，即2=-$\frac{1}{4}$t²-$\frac{3}{4}$t+$\frac{9}{2}$，解得x=2或x=-5．
∵點P在第四象限，
∴x=2，
當x=2時，y=-2．
∴點P的坐標為（2，-2）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一次函數、二次函數的解析式、等腰直角三角形的判定、平行線分線段成比例定理，求得點E的坐標是解題的關鍵．