Question

18．八（3）班同學到野外上數學活動課，為測量池塘兩端A、B的距離，設計了如下方案：
（Ⅰ）如圖1，先在平地上取一個可直接到達A、B的點C，連接AC、BC，并分別延長AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后測出DE的距離即為AB的長；
（Ⅱ）如圖2，先過B點作AB的垂線，再在BF上取C、D兩點使BC=CD，接著過D作BD的垂線DE，交AC的延長線于E，則測出DE的長即為AB的距離．
閱讀回答下列問題：
（1）方案（Ⅰ）是否可行？請說明理由．
（2）方案（Ⅱ）是否可行？請說明理由．
（3）方案（Ⅲ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE；若僅滿足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否成立？不成立．

Answer 1

分析 （1）由題意可證明△ACB≌△DCE，AB=DE，故方案（Ⅰ）可行；
（2）由題意可證明△ABC≌△EDC，AB=ED，故方案（Ⅱ）可行；
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE；若僅滿足∠ABD=∠BDE≠90°，故此時方案（Ⅱ）不成立．

解答 解：（1）方案（Ⅰ）可行；理由如下：
∵DC=AC，EC=BC，
在△ACB和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}&{\;}\\{∠ACB=∠DCE}&{\;}\\{BC=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴AB=DE，
∴測出DE的距離即為AB的長，
故方案（Ⅰ）可行．
（2）方案（Ⅱ）可行；理由如下：
∵AB⊥BC，DE⊥CD
∴∠ABC=∠EDC=90°，
在△ACB和△EDC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠EDC}&{\;}\\{BC=DC}&{\;}\\{∠ACB=∠ECD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED，
∴測出DE的長即為AB的距離，
故方案（Ⅱ）可行．
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE．
若僅滿足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）不成立；
理由如下：若∠ABD=∠BDE≠90°，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{CD}$，
∴只要測出ED、BC、CD的長，即可求得AB的長．
但是此題沒有其他條件，可能無法測出其他線段長度，
∴方案（Ⅱ）不成立；
故答案為：∠ABD=∠BDE，不成立．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定和性質；本題綜合性強，證明三角形全等是解決問題的關鍵．