Question

8．如圖（1），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC內部做△CED，使∠CED=90°，E在BC上，D在AC上，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF、AE、EF．

（1）證明：AE=EF；
（2）判斷線段AF，AE的數量關系，并證明你的結論；
（3）在圖（1）的基礎上，將△CED繞點C逆時針旋轉，請判斷（2）問中的結論是否成立？若成立，結合圖（2）寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據△ABC是等腰直角三角形，△CDE是等腰直角三角形，四邊形ABFD是平行四邊形，判定△ACE≌△FDE（SAS），進而得出AE=EF；
（2）根據∠DFE+∠EAF+∠AFD=90°，即可得出△AEF是直角三角形，再根據AE=FE，得到△AEF是等腰直角三角形，進而得到AF=$\sqrt{2}$AE；
（3）延長FD交AC于K，先證明△EDF≌△ECA（SAS），再證明△AEF是等腰直角三角形即可得出結論．

解答 解：（1）如圖1，∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵∠CED=90°，E在BC上，D在AC上，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=CD，
∵四邊形ABFD是平行四邊形，
∴DF=AB=AC，
∵平行四邊形ABFD中，AB∥DF，
∴∠CDF=∠CAB=90°，
∵∠C=∠CDE=45°，
∴∠FDE=45°=∠C，
在△ACE和△FDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=FD}\\{∠C=∠FDE}\\{CE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△FDE（SAS），
∴AE=EF；

（2）AF=$\sqrt{2}$AE．
證明：如圖1，∵AB∥DF，∠BAD=90°，
∴∠ADF=90°，
∴Rt△ADF中，∠DAE+∠EAF+∠AFD=90°，
∵△ACE≌△FDE，
∴∠DAE=∠DFE，
∴∠DFE+∠EAF+∠AFD=90°，
即△AEF是直角三角形，
又∵AE=FE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AE；

（3）AF=$\sqrt{2}$AE仍成立．
證明：如圖2，延長FD交AC于K．
∵∠EDF=180°-∠KDC-∠EDC=135°-∠KDC，
∠ACE=（90°-∠KDC）+∠DCE=135°-∠KDC，
∴∠EDF=∠ACE，
∵DF=AB，AB=AC，
∴DF=AC，
在△EDF和△ECA中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=AC}\\{∠EDF=∠ACE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△ECA（SAS），
∴EF=EA，∠FED=∠AEC，
∴∠FEA=∠DEC=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AE．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、平行四邊形的性質等知識的綜合應用，等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，尋找全等的條件是解題的難點．