Question

19．已知：正方形紙片ABCD的邊長為4，將該正方形紙片沿EF折疊（E，F分別在AB，CD邊上），使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，MN與CD交于點P．
（1）如圖①，連接PE，若M是AD邊的中點．①圖中與△PMD相似的三角形是△AME∽△DPM，△MPD∽△FPN，△EMP∽△MDP；
②求△PMD的周長．
（2）如圖②，隨著落點M在AD邊上移動（點M不與A、D重合），△PDM的周長是否發生變化？請說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）①依據兩組角對應相等的三角形相似可證明△AEM∽△DMP，△PFN∽△PMD，然后依據兩組邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似證明△EMP∽△MDP即可；②設AE=x，則EM=4-x，在Rt△AEM中，依據勾股定理可求得x的值，然后可求得△AEM的周長，然后依據相似三角形的周長比等于相似比求解即可；
（2）設AM=m，AE=n，則DM=4-m，EM=4-n．在Rt△AEM中，依據勾股定理和完全平方公式可得到8n=16-m²，然后可△PMD∽△MEA可求得△PMD的周長．

解答 解：（1）①依據翻折的性質可知∠EMP=∠B=90°，∠C=∠N=90°
∴∠AME+∠PMD=90°．
又∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠PMD．
又∵∠A=∠D，
∴△AME∽△DPM．
∵∠MPD=∠FPN，∠D=∠N=90°
∴△MPD∽△FPN．
∵△AME∽△DPM，
∴$\frac{AM}{ME}=\frac{DP}{MP}$．
又∵AM=MD，
∴$\frac{DM}{ME}=\frac{DP}{MP}$．
又∵∠EMP=∠D=90°，
∴△EMP∽△MDP．
故答案為：△AME∽△DPM，△AME∽△DPM，△EMP∽△MDP．
②∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB=4．
∵點M是AD邊中點，
∴AM=DM=2．
由折疊的性質得：ME=BE，
∴△MEA的周長為6．
在Rt△MEA中，設AE=x，則ME=4-x．
∴x²+2²=（4-x）²，解得：x=$\frac{3}{2}$．
∵△PMD∽△MEA，
∴$\frac{△PMD的周長}{△MEA的周長}$=$\frac{DM}{AE}$=$\frac{4}{3}$，即$\frac{△PMD的周長}{6}=\frac{4}{3}$．
∴△PMD的周長為8．

（2）△PMD的周長不變．
設AM=m，AE=n，則DM=4-m，EM=4-n，△AEM的周長=4+m．
在Rt△AME中，依據勾股定理可知：m²+n²=（4-n）²，即8n=16-m²．
∵△PMD∽△MEA，
∴$\frac{△PMD的周長}{△MEA的周長}$=$\frac{DM}{AE}$$\frac{4-m}{n}$．
∴△PMD的周長=$\frac{（4-m）（4+m）}{n}$=$\frac{16-{m}^{2}}{n}$=$\frac{8n}{8}$=8．

點評 本題主要考查的是相似三角形的綜合應用，解答本題主要應用了相似三角形的性質和判定，翻折的性質、勾股定理的應用，熟練掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．