Question

4．定義符號min{a，b}的含義為：當a≥b時，min{a，b}=b；當a＜b時，min{a，b}=a．如：min{2，-4}=-4，min{1，5}=1，則min{-x²+1，-x}的最大值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 理解min{a，b}的含義就是取二者中的較小值，畫出函數圖象草圖，利用函數圖象的性質可得結論．

解答 解：在同一坐標系xOy中，畫出函數二次函數y=-x²+1與正比例函數y=-x的圖象，如圖所示．設它們交于點A、B．
令-x²+1=-x，即x²-x-1=0，解得：x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
∴A（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），B（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$）．
觀察圖象可知：
①當x≤$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$時，min{-x²+1，-x}=-x²+1，函數值隨x的增大而增大，其最大值為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
②當$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$時，min{-x²+1，-x}=-x，函數值隨x的增大而減小，其最大值為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
③當x≥$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$時，min{-x²+1，-x}=-x²+1，函數值隨x的增大而減小，最大值為$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$．
綜上所示，min{-x²+1，-x}的最大值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查了二次函數與正比例函數的圖象與性質，充分理解定義min{a，b}和掌握函數的性質是解題的關鍵．