Question

20．已知，如圖，在⊙O中，直徑AB=4，點(diǎn)E是OA上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作弦CD⊥AB，點(diǎn)F是弧AB上的一點(diǎn)，連接AF交CE于點(diǎn)H，連結(jié)AC，CF，BD．
（1）求證：△ACH∽△AFC；
（2）若AC=$\sqrt{2}$，求AH•AF的值；
（3）當(dāng)S_△AEC：S_△BOD=1：4時，則點(diǎn)E離點(diǎn)A的距離是多少？

Answer 1

分析 （1）先由垂定定理得出$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，即可得出∠ACD=∠CFA，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）借助（1）的結(jié)論得出AC²=AH•AF，代值即可得出結(jié)論；
（3）先由垂定定理判斷出S_△AEC=S_△AED，進(jìn)而得出S_△AED：S_△BOD=1：4，再用同高的兩三角形的面積比等于底的比得出$\frac{AE}{OB}=\frac{1}{4}$，即可求出AE．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，
∴∠ACD=∠CFA，
∵∠CAH=∠FAC，
∴△ACH∽△AFC；

（2）由（1）知，△ACH∽△AFC；
∴$\frac{AC}{AF}=\frac{AH}{AC}$，
∴AC²=AH•AF，
∵AC=$\sqrt{2}$，
∴AH•AF=2；

（3）如圖，連接AD，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE，
∴S_△AEC=S_△AED，
∵S_△AEC：S_△BOD=1：4，
∴S_△AED：S_△BOD=1：4，
∵S_△AED=$\frac{1}{2}$AE•DE，S_△BOD=$\frac{1}{2}$OB•DE，
∴$\frac{AE}{OB}=\frac{1}{4}$，
∵直徑AB=4，
∴OB=2，
∴AE=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)E離點(diǎn)A的距離是$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了垂定定理，同圓中等弧所對的圓周角相等，相似三角形的判斷和性質(zhì)，同高的兩三角形的面積比等于底的比，解本題的關(guān)鍵判斷出△ACH∽△AFC和用同高的兩三角形的面積比等于底的比，是一道中等難度的中考常考題．