Question

5．二次函數y=$\frac{2}{3}$x²的圖象如圖所示，點A₀位于坐標原點，點A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₇在y軸的正半軸上，點B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₇在二次函數y=$\frac{2}{3}$x²位于第一象限的圖象上，△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₆B₂₀₁₇A₂₀₁₇都為等邊三角形，則等邊△A₂₀₁₆B₂₀₁₇A₂₀₁₇的高為$\frac{2017\sqrt{3}}{2}$，．

Answer 1

分析 分別過B₁，B₂，B₃作y軸的垂線，垂足分別為A、B、C，設A₀A₁=a，A₁A₂=b，A₂A₃=c，則AB₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，BB₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，CB₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，再根據所求正三角形的邊長，分別表示B₁，B₂，B₃的縱坐標，逐步代入拋物線y=$\frac{2}{3}$x²中，求a、b、c的值，得出規律．

解答 解：設A₀A₁=a，
∵△A₀B₁A₁是等邊三角形，
∴點B₁的橫坐標為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，縱坐標為$\frac{1}{2}$a，
∴B₁（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{1}{2}$a），
∵B₁在二次函數y=$\frac{2}{3}$x²位于第一象限的圖象上，
∴$\frac{2}{3}$×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²=$\frac{1}{2}$a，
解得a=1，
∴B₁（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴△A₀B₁A₁的高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理，設A₁A₂=b，
則B₂（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，$\frac{1}{2}$b+1），
代入二次函數解析式得，$\frac{2}{3}$×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²=$\frac{1}{2}$b+1，
解得b=2，b=-1（舍去），
B₂（$\sqrt{3}$，1），
所以，△A₁B₂A₂的高為$\sqrt{3}$，
設A₂A₃=c，則B₃（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，$\frac{1}{2}$c+1+2），
代入二次函數解析式得，$\frac{2}{3}$×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c）²=$\frac{1}{2}$c+1+2，
解得c=3，c=-2（舍去），
所以，B₃（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
所以，△A₂B₃A₃的高為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
…，
以此類推，B₂₀₁₇（$\frac{2017\sqrt{3}}{2}$，$\frac{2017}{2}$），
所以，△A₂₀₁₆B₂₀₁₇A₂₀₁₇的高=$\frac{2017\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{2017\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，等邊三角形的性質，根據等邊三角形的性質表示出點B系列的坐標是解題的關鍵，也是本題的難點．