Question

10．已知長方形的邊長都是整數，將邊長為2的正方形紙片放入長方形，要求正方形的邊與長方形的邊平行或重合，且任意兩個正方形重疊部分的面積為0，放入的正方形越多越好．
（1）如果長方形的長是4，寬是3，那么最多可以放人多少個邊長為2的正方形？長方形被覆蓋的面積占整個長方形面積的百分比是多少？
（2）如果長方形的長是n（n≥4），寬是n-2，那么最多可以放人多少個邊長為2的正方形？長方形被覆蓋的面積占整個長方形面積的百分比是多少？
（3）對于任意滿足條件的長方形，使長方形被覆蓋的面積小于整個長方形面積的55%．求長方形邊長的所有可能值．

Answer 1

分析 （1）直接確定出里面放入的正方形的個數，即可確定出結論；
（2）分n奇數和偶數兩種情況，分別求出可最多放入的正方形的個數，即可確定出結論；
（3）分長方形的長和寬都是偶數，都是奇數，一個偶數，一個奇數，三種情況討論計算．

解答 解：（1）最多可以放入2個正方形，長方形被覆蓋的面積占整個長方形面積的百分比是$\frac{2×{2}^{2}}{4×3}=\frac{2}{3}$≈66.7%；
（2）當n為偶數時，n-2也是偶數，最多可以放入$\frac{1}{4}$n（n-2）個正方形，
長方形被覆蓋的面積占整個長方形面積的百分比是100%，
當n為奇數時，n-2也是奇數，最多可放入$\frac{1}{4}$（n-1）（n-3）個正方形，
長方形被覆蓋的面積占整個長方形的面積的百分比是$\frac{（n-1）（n-3）}{n（n-2）}×100%$，
（3）設長方形的寬與長分別為x，y，
若x，y都是偶數，則長方形被覆蓋的面積占整個長方形面積的100%，不符合題意；
若x，y中一個是偶數2a，一個是奇數（2b+1）（a，b是正整數）
，則$\frac{4ab}{xy}=\frac{4ab}{2a（2b+1）}=\frac{2b}{2b+1}$＜0.55，
∴b＜0.61，
沒有滿足此結果的正整數b，這種情況也不符合題意，
因此，x，y都是奇數，
令$\left\{\begin{array}{l}{x=2a+1}\\{y=2b+1}\end{array}\right.$，a≤b，a，b是正整數，
∴$\frac{4ab}{（2a+1）（2b+1）}$＜0.55①，
∵$\frac{4ab}{（2a+1）（2b+1）}=\frac{4a}{（2a+1）（2+\frac{1}{b}）}$＞$\frac{4a}{（2a+1）（2+\frac{1}{a}）}=（\frac{2a}{2a+1}）^{2}$，
∴$（\frac{2a}{2a+1}）^{2}$＜0.55，
∴$\frac{2a}{2a+1}＜0.74$，
∴a＜1.4，
由于a是正整數，
∴a=1．
代入①式，得 $\frac{4b}{3（2b+1）}＜0.55$，
解得，b＜2.4，
由于b是正整數，
∴b=1或2，
故有x=3，y=3或5，
即：長方形的長為5，寬為3，或長和寬都是3．

點評 此題主要考查了正方形的性質和面積，長方形的性質和面積，分類討論是解本題的關鍵也是難點，是一道難度比較大的競賽題．