Question

2．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，且AC=8，BD=10，E，F分別是邊AB，CD的中點，則EF=$\sqrt{41}$．

Answer 1

分析 先判斷出EG，FG分別是△ABD和△ACD的中位線即可求出EG，FG，進而確定出四邊形PQHG是矩形，即可得出∠EGF=90°，最后用勾股定理即可求出EF．

解答 解：取AD的中點，連接EG，FG，
∵點E是AB的中點，
∴EG是△ABD的中位線，
∴EG∥BD，EG=$\frac{1}{2}$BD=5，
∵點F，G分別是CD，AD的中點，
∴FG是△ACD的中位線，
∴FG∥AC，FG=$\frac{1}{2}$AC=4，
∵EG∥BD，FG∥AC，
∴四邊形PQHG是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴∠AQD=90°，
∴平行四邊形PQHG是矩形，
∴∠EGF=90°，
在R△EFG中，EG=5，FG=4，
根據勾股定理得，EF=$\sqrt{E{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
故答案為：$\sqrt{41}$

點評 此題是主要考查了三角形中位線定理，平行四邊形判定，矩形的判定和的性質，勾股定理，解本題的關鍵是將EF轉化到在直角三角形EFG中，是一道基礎題目．