Question

4．如圖，已知Rt△ABC，D₁是斜邊AB的中點(diǎn)，過D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，連結(jié)BE₁交CD₁于D₂；過D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，連結(jié)BE₂交CD₁于D₃；過D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此繼續(xù)，可以依次得到點(diǎn)D₄，D₅，…，D_n，分別記△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面積為S₁，S₂，S₃，…S_n．若S_△ABC=1，則S₂₀₁₀=$\frac{1}{201{1}^{2}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)．再利用在△ACB中，D₂為其重心可得D₂E₁=$\frac{1}{3}$BE₁，然后從中找出規(guī)律即可解答．

解答 解：易知D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁與△CD₁E₁同底同高，面積相等，以此類推；
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)可知：D₁E₁=$\frac{1}{2}$BC，CE₁=$\frac{1}{2}$AC，S₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂為其重心，
∴D₂E₁=$\frac{1}{3}$BE₁，
∴D₂E₂=$\frac{1}{3}$BC，CE₂=$\frac{1}{3}$AC，S₂=$\frac{1}{{3}^{2}}$S_△ABC，
∵D₂E₂：D₁E₁=2：3，D₁E₁：BC=1：2，
∴BC：D₂E₂=2D₁E₁：$\frac{2}{3}$D₁E₁=3，
∴CD₃：CD₂=D₃E₃：D₂E₂=CE₃：CE₂=3：4，
∴D₃E₃=$\frac{3}{4}$D₂E₂=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{4}$BC，CE₃=$\frac{3}{4}$CE₂=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$AC=$\frac{1}{4}$AC，S₃=$\frac{1}{{4}^{2}}$S_△ABC…；
∴S_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$S_△ABC，
∵S_△ABC=1，
∴S₂₀₁₀=$\frac{1}{201{1}^{2}}$．
故答案為：$\frac{1}{201{1}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)得到第一個(gè)三角形的面積與原三角形的面積的規(guī)律．也考查了重心的性質(zhì)即三角形三邊中線的交點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍．