Question

8．如圖，⊙O的半徑為1，點A、P、B、C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）填空：
①PC、PB、PA之間的數量關系是CP=BP+AP；
②四邊形APBC的最大面積為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，證明△ABC是等邊三角形；
（2）在PC上截取PD=AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP=CD，即可證得；
（3）過點P作PE⊥AB，垂足為E，過點C作CF⊥AB，垂足為F，把四邊形的面積轉化為兩個三角形的面積進行計算，當點P為$\widehat{AB}$的中點時，PE+CF=PC從而得出最大面積．

解答 （1）在⊙O中，∠BAC與∠CPB是$\widehat{BC}$所對的圓周角，∠ABC與∠APC是$\widehat{AC}$所對的圓周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形；
故答案為：等邊三角形；

（2）①如圖1，在PC上截取PD=AP，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠ACD}\\{∠APB=∠ADC}\\{AP=AD}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP，
故答案為：CP=BP+AP；
②當點P為$\widehat{AB}$的中點時，四邊形APBC的面積最大．
理由如下，如圖2，過點P作PE⊥AB，垂足為E．
過點C作CF⊥AB，垂足為F．
∵S_△APB=$\frac{1}{2}$AB•PE，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CF，
∴S_{四邊形APBC}=$\frac{1}{2}$AB•（PE+CF），
當點P為$\widehat{AB}$的中點時，PE+CF=PC，PC為⊙O的直徑
∴此時四邊形APBC的面積最大．
又∵⊙O的半徑為1，
∴其內接正三角形的邊長AB=$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形APBC}=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的面積公式以及三角形的全等的判定與性質，正確作出輔助線，證明△APB≌△ADC是關鍵．