Question

16．如圖，等邊△ABC中，點D，E，F分別同時從點A，B，C出發，以相同的速度在AB，BC，CA上運動，連結DE，EF，DF．
（1）證明：△DEF是等邊三角形；
（2）在運動過程中
①若△CEF是等邊三角形，試求$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$的值；
②試問△CEF有可能是直角三角形嗎？若有，請求出$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$的值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，AD=BE=CF，進一步證得BD=EC=AF，即可證得△ADF≌△BED≌△CFE，根據全等三角形的性質得出DE=EF=FD，即可證得△DEF是等邊三角形；
（2）①根據等邊三角形得：DE、EF、DF是中位線，由中位線定理得兩三角形相似，其相似比為1：2，則面積比為1：4；
②分兩種情況：當∠EFC=90°時，如圖3，∠FEC=30°，當∠CEF=90°時，如圖4，由△ABC和△DEF是等邊三角形，得出△DEF∽△ABC，再根據相似三角形的性質即可得出結論．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，
∵AD=BE=CF，
∴BD=EC=AF，
在△ADF、△BED和△CFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE=CF}\\{∠A=∠B=∠C}\\{BD=CE=AF}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴DE=EF=FD，
∴△DEF是等邊三角形；
解：（2）有，
①如圖2，∵△CEF是等邊三角形，
∴EC=FC=EF，
∵AD=BE=CF，
∴D、E、F分別是三邊的中點，
∴$\frac{DF}{BC}=\frac{DE}{AC}=\frac{EF}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴△DEF∽△BCA，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{4}$；
②∵△ABC和△DEF是等邊三角形，
∴△DEF∽△ABC，
當∠EFC=90°時，∠FEC=30°，
∵∠DEF=60°，
∴DE⊥BC，
∴∠BDE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD，即BE=$\frac{1}{3}$BC，CE=$\frac{2}{3}$BC，
∵EF=EC•sin60°=$\frac{2}{3}BC$$•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}BC$，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{EF}{BC}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{1}{3}$．
當∠CEF=90°時，如圖4，同理可得：$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{EF}{BC}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{1}{3}$．

點評 本題是三角形的綜合題，考查的是等邊三角形的性質和判定、三角形中位線定理、三角形相似的性質和判定以及動點運動問題，熟知三個動點同時同速度時，路程相等，并知道等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．