Question

19．閱讀下列材料：
我們知道|x|的幾何意義是：在數軸上數x對應的點與原點的距離，也就是說，|x|表示在數軸上數x與數0對應點之間的距離，這個結論可以推廣為：|x₁-x₂|表示在數軸上數x₁，x₂對應點之間的距離．在解題中，我們會常常運用絕對值的幾何意義．
例1：解方程|x|=2．
分析：由絕對值的幾何意義知，該方程表示：求在數軸上與原點距離為2的點對應的數，故該方程的解為：x=±2；
例2：解方程|x-1|+|x+2|=5．
分析：由絕對值的幾何意義知，該方程表示：求在數軸上與1和-2的距離之和為5的點對應的數，而在數軸上，1和-2的距離為|1-（-2）|=3，滿足方程的x對應點在1的右邊或-2的左邊，若x對應點在1的右邊，由圖可知看出x=2；同理，若x對應點在-2的左邊，可得x=-3，故原方程的解是x=2或x=-3．
參考閱讀材料，解答下列問題：
（1）方程|x-1|=2的解為x₁=-1，x₂=3．
（2）方程|x-2|+|x+3|=7的解為x₁=-5，x₂=3．
（3）如圖，數軸的原點為O，點A、B、C是數軸上的三點，點B對應的數為1，AB=6，BC=2，動點P、Q同時從A、C出發，分別以每秒2個長度單位和每秒1個長度單位的速度沿數軸正方向運動，設運動時間為t秒（t＞0）
①求點A、C分別對應的數；
②求點P、Q分別對應的數（用含t的式子表示）；
③試問當t為何值時，OP=OQ？

Answer 1

分析 （1）分類討論：x＜1，x≥1，可化簡絕對值，根據解方程，可得答案；
（2）分類討論：x＜-3，-3≤x＜2，x≥2，根據絕對值的意義，可化簡方程，根據解方程，可得答案．
（3）①根據點B對應的數為1，AB=6，BC=2，得出點A對應的數是1-6=-5，點C對應的數是1+2=3．
②根據動點P、Q分別同時從A、C出發，分別以每秒2個單位和1個單位的速度沿數軸正方向運動，表示出移動的距離，即可得出對應的數；
③分兩種情況討論：當點P與點Q在原點兩側時和當點P與點Q在同側時，根據OP=OQ，分別列出方程，求出t的值即可．

解答 解：（1）當x＜1時，原方程等價于-x+1=2．解得x=-1；
當x≥1時，原方程等價于x-1=2，解得x=3，
故答案為：x₁=-1，x₂=3；
（2）當x＜-3時，原方程等價于2-x-x-3=7，解得x=-4，
當-3≤x＜2時，原方程等價于2-x+x+3=7，不存在x的值；
當x≥2時，原方程等價于x-2+x+3=7，解得x=3，
故答案為x₁=-5，x₂=3．
（3）①∵點B對應的數為1，AB=6，BC=2，
∴點A對應的數是1-6=-5，點C對應的數是1+2=3．
②∵動點P、Q分別同時從A、C出發，分別以每秒2個單位和1個單位的速度沿數軸正方向運動，
∴點P對應的數是-5+2t，
點Q對應的數是3+t；
③當點P與點Q在原點兩側時，若OP=OQ，則5-2t=3+t，
解得：t=$\frac{2}{3}$；
當點P與點Q在同側時，若OP=OQ，則-5+2t=3+t，
解得：t=8；
所以，當t為$\frac{2}{3}$或8時，OP=OQ．

點評 本題考查了一元一次方程的應用和數軸，解題的關鍵是掌握點的移動與點所表示的數之間的關系和分類討論思想的運用．