Question

16．如圖，以△ABC的邊AB、AC為邊向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠DAB=∠EAC=90°，DC與BE交于P．
求證：PA是∠DPE的平分線．

Answer 1

分析 過點A分別作AM⊥DC，AN⊥BE，垂足分別為M，N，根據等腰直角三角形的性質得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠EAC=90°，則∠BAE=∠DAC，于是可根據“SAS”判斷△BAE≌△DAC，根據全等三角形對應邊上的高相等得到AN=AM，然后根據角平分線的性質定理的逆定理得到PA是∠DPE的平分線．

解答 證明：過點A分別作AM⊥DC，AN⊥BE，垂足分別為M，N，如圖，
∵△ABD和△ACE都為等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠EAC=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAC，
∴AN=AM，
∴PA是∠DPE的平分線．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．解決本題的關鍵是證明A點到∠DPE的兩邊的距離相等．