Question

20．求$\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$+$\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$+$\frac{1}{5\sqrt{4}+4\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{2016\sqrt{2015}+2015\sqrt{2016}}$的值．（提示：$\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$=$\frac{（3\sqrt{2}-2\sqrt{3}）}{（3\sqrt{2}+2\sqrt{3}）（3\sqrt{2}-2\sqrt{3}）}$）

Answer 1

分析 先把各式分母有理化，找出規律即可得出結論．

解答 解：∵$\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$=$\frac{（3\sqrt{2}-2\sqrt{3}）}{（3\sqrt{2}+2\sqrt{3}）（3\sqrt{2}-2\sqrt{3}）}$=$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{18-12}$=$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$=$\frac{4\sqrt{3}-3\sqrt{4}}{（4\sqrt{3}+3\sqrt{4}）（4\sqrt{3}-3\sqrt{4}）}$=$\frac{4\sqrt{3}-3\sqrt{4}}{48-36}$=$\frac{4\sqrt{3}-3\sqrt{4}}{12}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{4}}{4}$，
∴原式=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{4}}{4}$+$\frac{\sqrt{4}}{4}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$+…+$\frac{\sqrt{2015}}{2015}$-$\frac{\sqrt{2016}}{2016}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2016}}{2016}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{12\sqrt{14}}{2016}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{14}}{168}$．

點評 本題考查的是分母有理化，根據題意得出各式的有理化因式，找出規律是解答此題的關鍵．