Question

5．如圖1，拋物線y=-$\frac{3}{5}$[（x-2）²+n]與x軸交于點A（m-2，0）和B（2m+3，0）（點A在點B的左側），與y軸交于點C，連結BC．
（1）求m、n的值；
（2）如圖2，點N為拋物線上的一動點，且位于直線BC上方，連接CN、BN．求△NBC面積的最大值；
（3）如圖3，點M、P分別為線段BC和線段OB上的動點，連接PM、PC，是否存在這樣的點P，使△PCM為等腰三角形，△PMB為直角三角形同時成立？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的解析式確定對稱軸為直線x=2，再利用對稱性得到2-（m-2）=2m+3-2，解方程可得m的值，從而得到A（-1，0），B（5，0），然后把A點坐標代入y=-$\frac{3}{5}$[（x-2）²+n]可求出n的值；
（2）作ND∥y軸交BC于D，如圖2，利用拋物線解析式確定C（0，3），再利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=-$\frac{3}{5}$x+3，設N（x，-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3），則D（x，-$\frac{3}{5}$x+3），根據三角形面積公式，利用S_△NBC=S_△NDC+S_△NDB可得S_△BCN=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{15}{2}$x，然后利用二次函數的性質求解；
（3）先利用勾股定理計算出BC=$\sqrt{34}$，再分類討論：當∠PMB=90°，則∠PMC=90°，△PMC為等腰直角三角形，MP=MC，設PM=t，則CM=t，MB=$\sqrt{34}$-t，證明△BMP∽△BOC，利用相似比可求出BP的長，再計算OP后可得到P點坐標；當∠MPB=90°，則MP=MC，設PM=t，則CM=t，MB=$\sqrt{34}$-t，證明△BMP∽△BCO，利用相似比可求出BP的長，再計算OP后可得到P點坐標．

解答 解：（1）∵拋物線的解析式為y=-$\frac{3}{5}$[（x-2）²+n]=-$\frac{3}{5}$（x-2）²-$\frac{3}{5}$n，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，
∵點A和點B為對稱點，
∴2-（m-2）=2m+3-2，解得m=1，
∴A（-1，0），B（5，0），
把A（-1，0）代入y=-$\frac{3}{5}$[（x-2）²+n]得9+n=0，解得n=-9；
（2）作ND∥y軸交BC于D，如圖2，
拋物線解析式為y=-$\frac{3}{5}$[（x-2）²-9]=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3，
當x=0時，y=3，則C（0，3），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（5，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{5}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{3}{5}$x+3，
設N（x，-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3），則D（x，-$\frac{3}{5}$x+3），
∴ND=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3-（-$\frac{3}{5}$x+3）=-$\frac{3}{5}$x²+3x，
∴S_△NBC=S_△NDC+S_△NDB=$\frac{1}{2}$•5•ND=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{15}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
當x=$\frac{5}{2}$時，△NBC面積最大，最大值為$\frac{75}{8}$；
（3）存在．
∵B（5，0），C（0，3），
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
當∠PMB=90°，則∠PMC=90°，△PMC為等腰直角三角形，MP=MC，
設PM=t，則CM=t，MB=$\sqrt{34}$-t，
∵∠MBP=∠OBC，
∴△BMP∽△BOC，
∴$\frac{PM}{OC}$=$\frac{BM}{OB}$=$\frac{BP}{BC}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{\sqrt{34}-t}{5}$=$\frac{BP}{\sqrt{34}}$，解得t=$\frac{3\sqrt{34}}{8}$，BP=$\frac{17}{4}$，
∴OP=OB-BP=5-$\frac{17}{4}$=$\frac{3}{4}$，
此時P點坐標為（$\frac{3}{4}$，0）；
當∠MPB=90°，則MP=MC，
設PM=t，則CM=t，MB=$\sqrt{34}$-t，
∵∠MBP=∠CBO，
∴△BMP∽△BCO，
∴$\frac{MP}{OC}$=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{BP}{BO}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{\sqrt{34}-t}{\sqrt{34}}$=$\frac{BP}{5}$，解得t=$\frac{102-9\sqrt{34}}{25}$，BP=$\frac{34-3\sqrt{34}}{5}$，
∴OP=OB-BP=5-$\frac{34-3\sqrt{34}}{5}$=$\frac{3\sqrt{34}-9}{5}$，
此時P點坐標為（$\frac{3\sqrt{34}-9}{5}$，0）；
綜上所述，P點坐標為（$\frac{3\sqrt{34}-9}{5}$，0）或（$\frac{3}{4}$，0）．

點評 本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征和二次函數的性質；會運用待定系數法求函數解析式；理解坐標與圖形的性質；掌握相似三角形的判定，能運用相似比計算線段的長或表示線段之間的關系；學會運用分類討論的思想解決數學問題．