Question

2．將兩塊全等的含30°角的直角三角板按圖1的方式放置，已知∠BAC=∠B₁A₁C₁=30°，固定三角板A₁B₁C₁，然后將三角板ABC繞點C順時針方向旋轉一定的角度α（0°＜α＜90°），AB與A₁C、A₁B₁分別交于點D、E，AC與A₁B₁交于點F．
（1）①填空：當旋轉角α=20°時，∠BCB₁=160度；
②當旋轉角α等于多少度時，AB⊥A₁B₁？請說明理由；
（2）當旋轉角α=60°，如圖3所示的位置，BC與A₁B₁有何位置關系，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）①求出∠BCD=∠FCB₁=70°，即可解決問題．
②當旋轉角等于α=30°時，AB⊥A₁B₁，只要證明∠A₁CB=180°-∠BDC-∠B=60°即可解決問題．
（2）當旋轉角α=60°時，BC∥A₁B₁，只要證明∠A₁=∠BCD=30°即可．

解答 解：（1）①如圖2中，∵∠ACB=∠A₁B₁C₁=90°，∠ACA₁=20°，
∴∠BCD=∠FCB₁=70°，
∴∠BCB₁=70°+20°+70°=160°，
故答案為160．
②當旋轉角等于α=30°時，AB⊥A₁B₁．
理由如下：如圖2中，∵AB⊥A₁B₁，則∠AED=90°，
∴∠A₁DE=90°-∠CA₁B₁=90°-30°=60°，
∴∠BDC=∠A₁DE=60°，
∵∠B=180°-∠ACB-∠BAC=60°，
∴∠A₁CB=180°-∠BDC-∠B=60°，
∴∠ACA₁=30°，
即當旋轉角等于α=30°時，AB⊥A₁B₁．
 
（2）當旋轉角α=60°時，BC∥A₁B₁，
理由：如圖3中，∵α=60°，即∠ACA₁=60°，
∴∠BCD=90°-∠A₁CA=30°，
∴∠A₁=∠BCD=30°
∴BC∥A₁B₁．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的性質、旋轉變換等知識，解題的關鍵是靈活應用旋轉不變性解決問題，屬于中考常考題型．